5.2.2 Teorema do Núcleo e da Imagem

  1. Determine os valores máximos e mínimos para as dimensões do núcleo e da imagem de cada uma das T.L a seguir.
    (a) T: R^8 R^6,
    (b) T: R^5 R^5,
    (c) T: R^4 R^20.
  2. Explique em cada caso por que não existe uma transformação linear T tal que:
    (a) T: R^11 R^11 com posto(T)=dim(Nuc(T)),
    (b) T: R^5 R^2 com Nuc(T)=lang<=(1,2,3,4,5),(2,3,4,5,6)rang<=.

Passo 1

O enunciado pede em ( ) para, dado um , encontrar os valores mínimo e máximo possíveis de e . Em ( ) devemos mostrar que certas transformações lineares não existem, usando o Teorema do Núcleo e da Imagem:
í
e ainda .

Passo 2

Pela relação de posto e nulidade, se a dimensão do domínio é n e a do contradomínio é m, temos
dim(ker T)+dim(Im,T)=n, 0<=dim(Im,T)<= m
Daí
– o posto mínimo é 0 (mapa zero), logo dim(ker T)max=n.
– o posto máximo é min(n,m), logo dim(ker T)min=n-min(n,m)=max(0,n-m).

Passo 3

Aplicando ao caso (a): n=8, m=6.
dim(Im,T)min=0, dim(Im,T)max=min(8,6)=6.
dim(ker T)max=8, dim(ker T)min=8-6=2.

Passo 4

Aplicando ao caso (b): n=5, m=5.
dim(Im,T)min=0, dim(Im,T)max=min(5,5)=5.
dim(ker T)max=5, dim(ker T)min=5-5=0.

Passo 5

Aplicando ao caso (c): n=4, m=20.
dim(Im,T)min=0, dim(Im,T)max=min(4,20)=4.
dim(ker T)max=4, dim(ker T)min=4-4=0.

Passo 6

Para ( 11 a), se T:R^11toR^11 e se hipoteticamente
dim(Im,T)=dim(ker T),
então pela soma de posto e nulidade teríamos
2,dim(Im,T)=11,
o que dá dim(Im,T)=5,5, não-inteiro. Concluímos que não existe tal T.

Passo 7

Para ( b), a hipótese é . Esses dois vetores são linearmente independentes, logo . Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem,
Mas como , devemos ter . Como , dá contradição, então não existe tal .

Resposta

10(a) dim(ker T)min=2, dim(ker T)max=8, dim(Im,T)min=0, dim(Im,T)max=6 10(b) dim(ker T)min=0, dim(ker T)max=5, dim(Im,T)min=0, dim(Im,T)max=5 10(c) dim(ker T)min=0, dim(ker T)max=4, dim(Im,T)min=0, dim(Im,T)max=4 11(a) Impossível pois 2,dim(Im,T)=11 não é inteiro.
11(b) Impossível pois dim(ker T)=2 levaria a dim(Im,T)=3>2.

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