5.2.2 Teorema do Núcleo e da Imagem
- Determine os valores máximos e mínimos para as dimensões do núcleo e da imagem de cada uma das T.L a seguir.
(a)
,
(b)
,
(c)
.
- Explique em cada caso por que não existe uma transformação linear
tal que:
(a)
,
(b)
com
.
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede em (
) para, dado um , encontrar os valores mínimo e máximo possíveis de
e
. Em (
) devemos mostrar que certas transformações lineares não existem, usando o Teorema do Núcleo e da Imagem:
e ainda
.
Passo 2
Pela relação de posto e nulidade, se a dimensão do domínio é
e a do contradomínio é
, temos
Daí
– o posto mínimo é (mapa zero), logo
.
– o posto máximo é , logo
.
– o posto mínimo é
– o posto máximo é
Passo 3
Aplicando ao caso (a):
,
.
– ,
.
– ,
.
–
–
Passo 4
Aplicando ao caso (b):
,
.
– ,
.
– ,
.
–
–
Passo 5
Aplicando ao caso (c):
,
.
– ,
.
– ,
.
–
–
Passo 6
Para (
a), se
e se hipoteticamente
então pela soma de posto e nulidade teríamos
o que dá
, não-inteiro. Concluímos que não existe tal
.
Passo 7
Para (
b), a hipótese é
. Esses dois vetores são linearmente independentes, logo
. Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem,
Mas como , devemos ter
. Como
, dá contradição, então não existe tal
.