5.3 Autovalores e Autovetores

  1. Seja T: V V um operador linear. Diremos que lambda é um autovalor de T e v neq 0 um autovetor de T associado a lambda se T(v)=lambda cdot v. Neste sentido, determine os autovalores e autovetores associados áos operadores lineares a seguir.
    (a) T: R^2 R^2, T(x, y)=(2 y, x
    (b) T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+y, x-y+2 z, 2 x+y-z)
    (c) T: P2 P2, T(a x^2+b x+c)=a x^2+c x+b
    (d) T: M2 times 2 M2 times 2, T(A)=A^prime, onde [A]2 times 2 é uma matriz e [A]2 times 2^prime é sua transposta.
  2. Seja A=(ccc-1 & -2 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0) a matriz de um operador linear. Determine os autovalores e autovetores de A.
  3. Suponha que v in V é um autovetor de T associado ao autovalor lambda in R.
    (a) Mostre que w=k v também é um autovetor de T associado a lambda para k neq 0.
    (b) O conjunto dos autovetores associados a lambda unido ao vetor nulo é um subespaço vetorial de V.
  4. Suponha que lambda1, lambda2 são autovalores de T: R^2 R^2 distintos. Mostre que
    (a) Os autovetores associados a eles v1 e v2, são L.I.
    (b) T(v1) e T(v2) são L.I.
  5. Seja T: V V um operador linear .
    (a) Se lambda=0 for um autovalor de de T, mostre que T não é injetora.
    (b) A recíproca é verdadeira?
  6. Seja T: R^2 R^2 um operador linear cuja matriz da transformação nas bases canônicas é
[T]beta^prime^beta=(ll -3 & 4 -1 & 2 )
(a) Mostre que lambda1=1 e lambda2=-2 são autovalores de T.
(b) Mostre que os autovetores associados a lambda1 e lambda2 formam uma base v1, v2 para T. Esta base é chamada de base de autovetores do espaço. Calcule a matriz da transformação nesta nova base. O que podemos dizer sobre esta matriz?

Passo 1

O enunciado pede (i) em 12-(a),(b),(c),(d) determinar os autovalores e autovetores dos operadores lineares dados em bases canônicas; (ii) em 13, achar autovalores e autovetores da matriz
A=-1 & -2 & 00 & -1 & 11 & 0 & 0;
(iii) em 14, 15 e 16, provar propriedades básicas de autovetores e autovalores; (iv) em 17, para a matriz
[T] = -3 & 4-1 & 2,
mostrar que 1 e -2 são autovalores, exibir autovetores e diagonalizar. Vamos usar caracterização via det(T-lambda I)=0 e resolver sistemas lineares para encontrar as direções próprias.

Passo 2

Parte 12-(a). Em R^2,
T(x,y)=(2y,x)Longrightarrow [T] =0&21&0
O polinômio característico é
det!l([T]-lambda Ir) =det-lambda&21&-lambda =lambda^2-2=0,
logo
lambda=raiz2 ou lambda=-raiz2.
Para lambda=raiz2, resolvemos
-raiz2&21&-raiz2!(x,y)^T=0
que dá y=tfracraiz22x. Tomando x=1, um autovetor é
v1=(1,tfracraiz22)
Para lambda=-raiz2, de modo análogo y=-tfracraiz22x, escolhemos
v2=(1,-tfracraiz22)

Passo 3

Parte 12-(b). Em R^3,
T(x,y,z)=(x+y,;x-y+2z,;2x+y-z) Longrightarrow M=1&1&01&-1&22&1&-1
Calculamos
det(M-lambda I) =lambda^3+lambda^2-4lambda-4 =(lambda^2-4)(lambda+1)=0,
de onde lambda=2, lambda=-2 ou lambda=-1.
Para lambda=2,
(M-2I)(x,y,z)^T=0 y=x, z=x, escolhemos
v2=(1,1,1)
Para lambda=-2,
(M+2I)dots=0 y=-3x, z=x, escolhemos
v-2=(1,-3,1)
Para lambda=-1,
(M+I)dots=0 y=-2x, z=-tfrac12x, escolhemos x=2,
v-1=(2,-4,-1)

Passo 4

Parte 12-(c). Em P2 com base x^2,x,1,
T(ax^2+bx+c)=a,x^2+c,x+b Longrightarrow [T]=1&0&00&0&10&1&0
O polinômio característico é
(1-lambda)det-lambda&11&-lambda =(1-lambda)(lambda^2-1)=0,
logo lambda=1 (multiplicidade 2) e lambda=-1.
Para lambda=1,
(T-I)(a,b,c)=0 b=c, a livre. Base do espaço próprio:
x^2,;x+1.
Para lambda=-1,
(T+I)(a,b,c)=0 a=0, b=-c. Tomando c=1,
v-1=x-1

Passo 5

Parte 12-(d). Em M2times2, T(A)=A^T.
Se A^T=A, então T(A)=A ( lambda=1); se A^T=-A, então T(A)=-A ( lambda=-1).
Logo
lambda1=1 com espaço próprio as matrizes simétricas (dimensão 3)
e lambda2=-1 com espaço próprio as antissimétricas (dimensão 1).

Passo 6

Questão 13. Para
A=-1&-2&00&-1&11&0&0
o polinômio característico é
det(A-lambda I) =lambda^3+2lambda^2+lambda+2 =(lambda+2)(lambda^2+1)=0,
logo lambda=-2,;i,;-i.
Para lambda=-2:
(A+2I)(x,y,z)=0 x=2y, z=-y. Tomamos y=1,
v-2=(2,1,-1)
Para lambda=i, resolvendo (A-iI)v=0 obtemos
vi=(1-i,1,1+i),
e para lambda=-i similarmente
v-i=(1+i,1,1-i)

Passo 7

Questão 14-(a). Se T(v)=lambda v e w=k,v com kneq0, então
T(w)=T(kv)=k,T(v)=k,lambda v=lambda(kv)=lambda w,
logo w é autovetor associado a lambda.

Passo 8

Questão 14-(b). O conjunto ,vneq0:T(v)=lambda vcup0 é o núcleo de T-lambda I, que é subespaço vetorial por definição de núcleo de transformação linear.

Passo 9

Questão 15-(a). Se lambda1neqlambda2 e
c1v1+c2v2=0,
aplicando T
c1lambda1v1+c2lambda2v2=0
Subtraindo lambda2 vezes a primeira combinação, obtemos (lambda1-lambda2)c1v1=0, forçando c1=0, e daí c2=0. Assim v1,v2 são LI.

Passo 10

Questão 15-(b). Como T(vi)=lambdai vi, se
a1T(v1)+a2T(v2)=0
então
lambda1a1v1+lambda2a2v2=0. Pelos mesmos argumentos e lambda1neqlambda2, segue a1=a2=0, logo T(v1),T(v2) são LI.

Passo 11

Questão 16-(a). Se 0 é autovalor, existe vneq0 tal que T(v)=0, logo ker Tneq0, o que impede T de ser injetora.
Questão 16-(b). A recíproca também vale: se T não é injetora então existe vneq0 em ker T, e T(v)=0 mostra que 0 é autovalor.

Passo 12

Questão 17. Para
[T]=-3&4-1&2
temos
det([T]-lambda I) =(-3-lambda)(2-lambda)-(-4) =lambda^2+lambda-2 =(lambda-1)(lambda+2)=0,
logo lambda1=1, lambda2=-2.
Para lambda1=1,
-4&4-1&1(x,y)^T=0
y=x. Tomamos
v1=(1,1)
Para lambda2=-2,
-1&4-1&4(x,y)^T=0
y=tfracx4. Tomamos
v2=(4,1)
Como v1,v2 é base de R^2, na base de autovetores a matriz de T é
1&00&-2,
isto é, T fica diagonal.

Resposta

12-(a) lambda=pmraiz2 com autovetores (1,tfracpmraiz22).
12-(b) lambda=2,-2,-1 com autovetores (1,1,1), (1,-3,1), (2,-4,-1).
12-(c) lambda=1 (esp. própria gerado por x^2,x+1), lambda=-1 (autovetor x-1).
12-(d) lambda=1 (matrizes simétricas), lambda=-1 (matrizes antissimétricas).
13) lambda=-2,i,-i com autovetores (2,1,-1), (1-i,1,1+i), (1+i,1,1-i).
14-(a) e (b) como mostrado, o conjunto é subespaço.
15-(a),(b) autovetores de valores distintos são LI; suas imagens também.
16-(a) se lambda=0 é autovalor, T não é injetora; (b) a recíproca vale.
17- lambda1=1,lambda2=-2; autovetores (1,1), (4,1); matriz diagonal diag(1,-2).

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