Seja um operador linear. Diremos que é um autovalor de e um autovetor de associado a se . Neste sentido, determine os autovalores e autovetores associados áos operadores lineares a seguir.
(a)
(b)
(c)
(d) , onde é uma matriz e é sua transposta.
Seja a matriz de um operador linear. Determine os autovalores e autovetores de A.
Suponha que v in V é um autovetor de T associado ao autovalor lambda in R.
(a) Mostre que w=k v também é um autovetor de T associado a lambda para k neq 0.
(b) O conjunto dos autovetores associados a lambda unido ao vetor nulo é um subespaço vetorial de V.
Suponha que lambda1, lambda2 são autovalores de T: R^2 R^2 distintos. Mostre que
(a) Os autovetores associados a eles v1 e v2, são L.I.
(b) T(v1) e T(v2) são L.I.
Seja T: V V um operador linear .
(a) Se lambda=0 for um autovalor de de T, mostre que T não é injetora.
(b) A recíproca é verdadeira?
Seja T: R^2 R^2 um operador linear cuja matriz da transformação nas bases canônicas é
[T]beta^prime^beta=(ll -3 & 4 -1 & 2 )
(a) Mostre que lambda1=1 e lambda2=-2 são autovalores de T.
(b) Mostre que os autovetores associados a lambda1 e lambda2 formam uma base v1, v2 para T. Esta base é chamada de base de autovetores do espaço. Calcule a matriz da transformação nesta nova base. O que podemos dizer sobre esta matriz?
Passo 1
O enunciado pede (i) em 12-(a),(b),(c),(d) determinar os autovalores e autovetores dos operadores lineares dados em bases canônicas; (ii) em 13, achar autovalores e autovetores da matriz
A=-1 & -2 & 00 & -1 & 11 & 0 & 0;
(iii) em 14, 15 e 16, provar propriedades básicas de autovetores e autovalores; (iv) em 17, para a matriz
[T] = -3 & 4-1 & 2,
mostrar que 1 e -2 são autovalores, exibir autovetores e diagonalizar. Vamos usar caracterização via det(T-lambda I)=0 e resolver sistemas lineares para encontrar as direções próprias.
Para lambda=1, (T-I)(a,b,c)=0 dá b=c, a livre. Base do espaço próprio: x^2,;x+1.
Para lambda=-1, (T+I)(a,b,c)=0 dá a=0, b=-c. Tomando c=1,
v-1=x-1
Passo 5
Parte 12-(d). Em M2times2, T(A)=A^T.
Se A^T=A, então T(A)=A (lambda=1); se A^T=-A, então T(A)=-A (lambda=-1).
Logo lambda1=1 com espaço próprio as matrizes simétricas (dimensão 3)
e lambda2=-1 com espaço próprio as antissimétricas (dimensão 1).
logo lambda=-2,;i,;-i.
Para lambda=-2: (A+2I)(x,y,z)=0 dá x=2y, z=-y. Tomamos y=1,
v-2=(2,1,-1)
Para lambda=i, resolvendo (A-iI)v=0 obtemos
vi=(1-i,1,1+i),
e para lambda=-i similarmente
v-i=(1+i,1,1-i)
Passo 7
Questão 14-(a). Se T(v)=lambda v e w=k,v com kneq0, então
T(w)=T(kv)=k,T(v)=k,lambda v=lambda(kv)=lambda w,
logo w é autovetor associado a lambda.
Passo 8
Questão 14-(b). O conjunto ,vneq0:T(v)=lambda vcup0 é o núcleo de T-lambda I, que é subespaço vetorial por definição de núcleo de transformação linear.
Passo 9
Questão 15-(a). Se lambda1neqlambda2 e
c1v1+c2v2=0,
aplicando T dá
c1lambda1v1+c2lambda2v2=0
Subtraindo lambda2 vezes a primeira combinação, obtemos (lambda1-lambda2)c1v1=0, forçando c1=0, e daí c2=0. Assim v1,v2 são LI.
Passo 10
Questão 15-(b). Como T(vi)=lambdai vi, se
a1T(v1)+a2T(v2)=0
então lambda1a1v1+lambda2a2v2=0. Pelos mesmos argumentos e lambda1neqlambda2, segue a1=a2=0, logo T(v1),T(v2) são LI.
Passo 11
Questão 16-(a). Se 0 é autovalor, existe vneq0 tal que T(v)=0, logo ker Tneq0, o que impede T de ser injetora.
Questão 16-(b). A recíproca também vale: se T não é injetora então existe vneq0 em ker T, e T(v)=0 mostra que 0 é autovalor.
Para lambda2=-2, -1&4-1&4(x,y)^T=0
dá y=tfracx4. Tomamos
v2=(4,1)
Como v1,v2 é base de R^2, na base de autovetores a matriz de T é
1&00&-2,
isto é, T fica diagonal.
Resposta
12-(a) lambda=pmraiz2 com autovetores (1,tfracpmraiz22).
12-(b) lambda=2,-2,-1 com autovetores (1,1,1), (1,-3,1), (2,-4,-1).
12-(c) lambda=1 (esp. própria gerado por x^2,x+1), lambda=-1 (autovetor x-1).
12-(d) lambda=1 (matrizes simétricas), lambda=-1 (matrizes antissimétricas).
13) lambda=-2,i,-i com autovetores (2,1,-1), (1-i,1,1+i), (1+i,1,1-i).
14-(a) e (b) como mostrado, o conjunto é subespaço.
15-(a),(b) autovetores de valores distintos são LI; suas imagens também.
16-(a) se lambda=0 é autovalor, T não é injetora; (b) a recíproca vale.
17-lambda1=1,lambda2=-2; autovetores (1,1), (4,1); matriz diagonal diag(1,-2).