Exercício 8
Avalie a convergência da série
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
. O conteúdo principal aqui é teste da raiz (root test) e saber que
tende a 1 conforme
.
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz, que diz que devemos calcular
. Como
raiz[n]x^n=|x| , temos
[L=\lim_{n\to\infty}\Bigl|\sqrt[n]{n}-\tfrac12\Bigr|,.
Passo 3
Usamos a propriedade
limntoinftyn^1/n=limntoinfty e^(ln n)/n=1 . Logo
[L=1-\tfrac12=\tfrac12<1,.
Passo 4
Como no teste da raiz
L<1 implica convergência absoluta, concluímos que a série converge absolutamente e, portanto, converge.
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge), pois pelo teste da raiz obtivemos
L=tfrac12<1 .