Exercício 8

Avalie a convergência da série .

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=1^inftyl(raiz[n]n-tfrac12r)^n. O conteúdo principal aqui é teste da raiz (root test) e saber que raiz[n]n=n^1/n tende a 1 conforme ntoinfty.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz, que diz que devemos calcular L=limntoinftyraiz[n]|l(raiz[n]n-tfrac12r)^n|. Como raiz[n]x^n=|x|, temos
[L=\lim_{n\to\infty}\Bigl|\sqrt[n]{n}-\tfrac12\Bigr|,.

Passo 3

Usamos a propriedade limntoinftyn^1/n=limntoinfty e^(ln n)/n=1. Logo
[L=1-\tfrac12=\tfrac12<1,.

Passo 4

Como no teste da raiz L<1 implica convergência absoluta, concluímos que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge), pois pelo teste da raiz obtivemos L=tfrac12<1.

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