Usando o teorema de Green, calcule o valor das integrais
seguindo o sentido anti-horário em torno da curva de contorno da região , onde
é a circunferência
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha \n$\oint_C P\,dx + Q\,dy$ ao longo da circunferência \n$C: x^2 + y^2 = 25$ no sentido anti-horário, onde \\n$P(x,y) = -y^3$ e \\n$Q(x,y) = x^3$. O conteúdo é o Teorema de Green, que converte a integral de linha numa integral de área envolvendo \\n$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$. Você vai precisar calcular essas derivadas parciais e depois integrar sobre o disco de raio 5.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais: \\n$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^3) = 3x^2$ e \\n$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-y^3) = -3y^2$. Assim, o integrando do Teorema de Green é \\n$
Passo 3
Agora vamos transformar a integral de área sobre o disco de raio 5 para coordenadas polares. Em polares \\n$x^2 + y^2 = r^2$ e \\n$dA = r\,dr\,d\theta$. A integral fica: \\n$
Passo 4
Finalmente, calculamos as integrais separadas: \\n$\int_{0}^{5} r^3 ,dr = \frac{5^4}{4} = \frac{625}{4}$ e \\n$\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi$. Logo: \\n$
Resposta
$\frac{1875\pi}{2}$