Exercício 7

Avalie a convergência da série sumn=1^infty -e^-nn.

Passo 1

O exercício pede para avaliar a convergência da série sumn=1^infty -e^-nn. O conteúdo envolvido é análise de séries numéricas: vamos usar o teste da razão para verificar convergência absoluta e, em seguida, usar a expansão em série de potências de -ln(1 - x) para obter a soma.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral como an = -e^-nn = -(e^-1)^nn, identificando uma série de potências em x = e^-1.

Passo 3

Analisamos a convergência absoluta por meio da série sumn=1^infty |an| = sumn=1^infty e^-nn. Aplicando o teste da razão, calculamos
limntoinfty e^-(n+1)/(n+1)e^-n/n = limntoinfty nn+1 cdot e^-1 = 1e < 1
Logo, sum |an| converge e a série original converge absolutamente.

Passo 4

Para encontrar a soma, usamos a fórmula válida para |x|<1:
sumn=1^infty x^nn = -ln(1 - x)
Substituindo x = e^-1, obtemos
sumn=1^infty e^-nn = -lnl(1 - e^-1r)
Como a série original é -sumn=1^infty e^-nn, sua soma é
-l(-ln(1 - e^-1)r) = lnl(1 - e^-1r)

Resposta

A série converge absolutamente e sumn=1^infty tfrac-e^-nn = lnl(1 - e^-1r).

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