Usando o teorema de Green, calcule o valor das integrais
seguindo o sentido anti-horário em torno da curva de contorno da região , onde
F=[y sen x, 2 x cos y], R é o quadrado de vértices (0,0),(pi / 2,0), (pi / 2, pi / 2),(0, pi / 2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada ointC vec Fcdot dvec r seguindo o sentido anti-horário na fronteira do quadrado R com vértices (0,0), (pi/2,0), (pi/2,pi/2), (0,pi/2). Aqui o conteúdo é o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha fechada com uma integral dupla sobre a região interior.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, para vec F=(P,Q) vale
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaR l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA

Passo 3

Identificamos as componentes:
P(x,y) = ysin x, Q(x,y) = 2xcos y
Então calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = 2cos y, partial Ppartial y = sin x

Passo 4

A função a ser integrada na dupla é
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2cos y - sin x
Logo montamos a integral:
integral duplaR (2cos y - sin x),dA = integraly=0^pi/2 integralx=0^pi/2 (2cos y - sin x),dx,dy

Passo 5

Primeiro integramos em x:
integral0^pi/2 (2cos y - sin x),dx = 2cos y cdot pi2 - integral0^pi/2 sin x,dx = picos y - 1

Passo 6

Agora integramos em y:
integral0^pi/2 (picos y - 1),dy = pi integral0^pi/2 cos y,dy - integral0^pi/2 1,dy = pil[sin yr]0^pi/2 - pi2 = pi - pi2 = pi2

Resposta

dfracpi2

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