Exercício 2 Avalie a integral
\iint_{R} x y^{3} d A
onde R é a região limitada pelas equações x y=1, x y=3, y=2 \mathrm{e} y=6, aplicando a transformação T(u, v)=(x(u, v), y(u, v)) que satisfaça x=\frac{v}{6 u} e y=2 u.

Passo 1

O enunciado pede avaliar
\iint_{R} x\,y^{3}\,dA
onde R é a região limitada por
xy=1,\quad xy=3,\quad y=2,\quad y=6
usando a transformação
T(u,v) : x=\frac{v}{6u},\quad y=2u.
O conteúdo principal é mudança de variáveis em integrais duplas: precisamos encontrar o Jacobiano, descrever a região em (u,v) e reescrever integrando.

Passo 2

Determinar a região em (u,v):
da condição y=2u e das retas y=2 e y=6 vem
2u=2\implies u=1, \quad 2u=6\implies u=3,
ou seja 1\le u\le3.
Da transformação temos
xy=\frac{v}{6u}\cdot2u=\frac{v}{3}\implies v=3\,xy.
Logo xy=1 v=3 e xy=3 v=9, isto é 3\le v\le9.

Passo 3

Calcular o Jacobiano
J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix} -\frac{v}{6u^{2}}&\frac{1}{6u}\\[4pt] 2&0 \end{pmatrix} =-\frac{2}{6u}=-\frac{1}{3u}.
Como u>0 no domínio, \bigl|J\bigr|=\tfrac{1}{3u}.]

Passo 4

Reescrever o integrando em (u,v):
x\,y^{3} =\frac{v}{6u}\,(2u)^{3} =\frac{v}{6u}\,8u^{3} =\frac{8}{6}\,v\,u^{2} =\frac{4}{3}\,v\,u^{2}.

Passo 5

Montar a integral em (u,v):
\iint_{R}x\,y^{3}\,dA =\int_{u=1}^{3}\int_{v=3}^{9} \Bigl(\frac{4}{3}v\,u^{2}\Bigr)\,\Bigl(\frac{1}{3u}\Bigr)\,dv\,du =\int_{1}^{3}\int_{3}^{9}\frac{4}{9}\,v\,u\,dv\,du.

Passo 6

Integrar em v:
\int_{3}^{9}\frac{4}{9}\,v\,u\,dv =\frac{4u}{9}\,\biggl[\frac{v^{2}}{2}\biggr]_{3}^{9} =\frac{4u}{9}\,\frac{81-9}{2} =\frac{4u}{9}\cdot36 =16u.

Passo 7

Integrar em u:
\int_{1}^{3}16u\,du =16\biggl[\frac{u^{2}}{2}\biggr]_{1}^{3} =16\cdot\frac{9-1}{2} =16\cdot4 =64.

Resposta

O valor da integral é 64.

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