Exercício 3 Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a mudança de variáveis dada por T(x, y)=\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}, \frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\right)
a) Determine se T preserva áreas, ângulos ou orientações. (Na dúvida, consulte as notas de aula sobre o assunto, disponíveis no moodle em: Mudanças de Coordenadas - Seção 3)
b) Descreva a imagem por T do conjunto C_{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}=5, y \geq 0\right\}
c) Descreva o conjunto C_{2} de pontos (x, y) \in \mathbb{R}^{2} cuja imagem por T é o segmento de reta ligando o ponto \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) ao ponto (6,8).

Passo 1

O enunciado define a transformação
T\colon\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\to\mathbb{R}^2,\quad T(x,y)=\Bigl(\frac{x}{x^2+y^2},\,\frac{-y}{x^2+y^2}\Bigr).
Precisamos de
  1. Determinar se T preserva áreas, ângulos ou orientações, usando o Jacobiano e propriedades de inversão e reflexão.
  2. Descrever a imagem do semicírculo C_1=\{(x,y)\mid x^2+y^2=5,\;y\ge0\}.
  3. Encontrar o conjunto C_2 cujo T-imagem é o segmento de reta de \bigl(\tfrac35,\tfrac45\bigr) a (6,8).

Passo 2

Calculemos a matriz jacobiana J_T(x,y). Denote r^2=x^2+y^2,
u=\frac{x}{r^2},\quad v=-\frac{y}{r^2}.
Suas derivadas são
\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{1}{r^2}-\frac{2x^2}{r^4} =\frac{y^2-x^2}{r^4},\quad \frac{\partial u}{\partial y} =-\frac{2xy}{r^4},
\frac{\partial v}{\partial x} =\frac{2xy}{r^4},\quad \frac{\partial v}{\partial y} =-\frac{1}{r^2}+\frac{2y^2}{r^4} =\frac{y^2-x^2}{r^4}.
Logo
J_T(x,y) =\frac{1}{r^4} \begin{pmatrix} y^2-x^2 & -2xy\\[6pt] 2xy & y^2-x^2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

O determinante é
\det J_T =\frac{(y^2-x^2)^2+(2xy)^2}{r^8} =\frac{x^4+2x^2y^2+y^4}{r^8} =\frac{r^4}{r^8} =\frac{1}{r^4}>0.
Como \det J_T>0 e não constante, concluímos que
  • T não preserva área (o fator de escala é 1/r^4, variável).
  • T preserva orientação (determinante positivo).
    Além disso, sabe-se que a inversão em \mathbb{R}^2 é conforme (preserva ângulos) mas inverte orientação, e a reflexão v\mapsto -v inverte novamente a orientação. A composição é, portanto, conforme e orientada, logo preserva ângulos.

Passo 4

Para C_1 temos r^2=5, y\ge0. Em cada ponto
T(x,y)=\Bigl(\frac{x}{5},\,-\frac{y}{5}\Bigr).
Assim (u,v)=T(x,y) satisfaz
u^2+v^2=\frac{x^2+y^2}{25}=\frac{5}{25}=\frac1{5}, \quad v=-\frac{y}{5}\le0.
Logo a imagem de C_1 é o semicírculo
\{(u,v)\mid u^2+v^2=\tfrac15,\;v\le0\}.

Passo 5

Para achar C_2=T^{-1}\bigl(\text{segmento de \((\tfrac35,\tfrac45) a (6,8)}\bigr)), usamos que T é involutiva: T(T(x,y))=(x,y). Então
C_2=T\bigl(\text{segmento de \((\tfrac35,\tfrac45)\) a \((6,8)\)}\bigr).
Basta calcular T nos extremos.

Passo 6

  1. Em \bigl(\tfrac35,\tfrac45\bigr):
T\Bigl(\tfrac35,\tfrac45\Bigr) =\Bigl(\frac{\tfrac35}{(\tfrac35)^2+(\tfrac45)^2},\, -\frac{\tfrac45}{(\tfrac35)^2+(\tfrac45)^2}\Bigr) =\Bigl(\tfrac35,-\tfrac45\Bigr).
  1. Em (6,8):
T(6,8) =\Bigl(\frac{6}{6^2+8^2},\,-\frac{8}{6^2+8^2}\Bigr) =\Bigl(\frac{6}{100},-\frac{8}{100}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{3}{50},-\tfrac{2}{25}\Bigr).

Passo 7

Portanto C_2 é o segmento de reta que une
\Bigl(\tfrac35,-\tfrac45\Bigr) \quad\text{a}\quad \Bigl(\tfrac{3}{50},-\tfrac{2}{25}\Bigr).
Em forma paramétrica, para t\in[0,1]:
C_2=\Bigl\{ \bigl(1-t\bigr)\Bigl(\tfrac35,-\tfrac45\Bigr) +t\Bigl(\tfrac{3}{50},-\tfrac{2}{25}\Bigr) \Bigr\}.

Resposta

a) T não preserva área, preserva orientação e preserva ângulos (é conforme orientada).
b) A imagem de C_1 é o semicírculo
\{(u,v)\mid u^2+v^2=\tfrac15,\;v\le0\}.
c) C_2 é o segmento de reta ligando \bigl(\tfrac35,-\tfrac45\bigr) a \bigl(\tfrac{3}{50},-\tfrac{2}{25}\bigr), por exemplo
\{(1-t)(\tfrac35,-\tfrac45)+t(\tfrac{3}{50},-\tfrac{2}{25})\mid t\in[0,1]\}.

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