Exercício 3 Seja
a mudança de variáveis dada por
a) Determine se
preserva áreas, ângulos ou orientações. (Na dúvida, consulte as notas de aula sobre o assunto, disponíveis no moodle em: Mudanças de Coordenadas - Seção 3)
b) Descreva a imagem por
do conjunto
c) Descreva o conjunto
de pontos
cuja imagem por
é o segmento de reta ligando o ponto
ao ponto
.
a) Determine se
b) Descreva a imagem por
c) Descreva o conjunto
Passo 1
O enunciado define a transformação
Precisamos de
- Determinar se
preserva áreas, ângulos ou orientações, usando o Jacobiano e propriedades de inversão e reflexão. - Descrever a imagem do semicírculo
. - Encontrar o conjunto
cujo -imagem é o segmento de reta de a .
Passo 2
Calculemos a matriz jacobiana
. Denote
,
Suas derivadas são
Logo
Passo 3
O determinante é
Como
e não constante, concluímos que
-
não preserva área (o fator de escala é , variável). -
preserva orientação (determinante positivo).
Além disso, sabe-se que a inversão emé conforme (preserva ângulos) mas inverte orientação, e a reflexão inverte novamente a orientação. A composição é, portanto, conforme e orientada, logo preserva ângulos.
Passo 4
Para
temos
,
. Em cada ponto
Assim
satisfaz
Logo a imagem de
é o semicírculo
Passo 5
Para achar
a
}\bigr)), usamos que
é involutiva:
. Então
Basta calcular
nos extremos.
Passo 6
- Em
:
- Em
:
Passo 7
Portanto
é o segmento de reta que une
Em forma paramétrica, para
:
Resposta
a)
não preserva área, preserva orientação e preserva ângulos (é conforme orientada).
b) A imagem de é o semicírculo
b) A imagem de
c)
é o segmento de reta ligando
a
, por exemplo