Exercício 7. (B. 18, ex.18.22) Determine explicitamente a função de Green para os seguintes problemas:
d^2 ud x^2(x)=f(x), com u(0)=0 e u^prime(1)=0.

Passo 1

O problema é encontrar a função de Green G(x,s) para
d^2udx^2(x)=f(x), u(0)=0,;u'(1)=0,
de modo que a solução seja
u(x)=integral0^1G(x,s),f(s),ds
Para isso, vamos exigir em xneq s que G''(x,s)=0 e impor as condições de contorno em x=0,1 e as condições de continuidade e salto no derivado em x=s.

Passo 2

Em cada intervalo [0,s) e (s,1], a equação homogênea G''=0 tem solução geral linear em x. Assim, para 0<= x<s escrevemos
G(x,s)=A(s),x+B(s),
e para s<x<=1 escrevemos
G(x,s)=C(s),x+D(s)

Passo 3

Aplicamos as condições de contorno em x=0 e em x=1:
  1. u(0)=0 implica G(0,s)=0, logo B(s)=0
  2. u'(1)=0 implica partialxG(1,s)=0. No ramo x>s temos partialxG=C(s), logo C(s)=0
Até agora
G(x,s)= A(s),x, & 0<= x<s, D(s), & s<x<=1

Passo 4

Impondo em x=s a continuidade de G e o salto unitário no derivado (pois integrals-varepsilon^s+varepsilonG'',dx=1):
  1. Continuidade: A(s),s = D(s)
  2. Salto no derivado: Gx(s^+,s)-Gx(s^-,s)=1 ;Longrightarrow;0 - A(s)=1 ;Longrightarrow;A(s)=-1
Logo
A(s)=-1, D(s)=A(s),s=-,s

Passo 5

Substituindo A(s) e D(s) obtemos a função de Green final:
G(x,s)= -,x, & 0<= x<= s, -,s, & s<= x<=1

Resposta

G(x,s)= -,x, & x<= s, -,s, & x>= s

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