Exercício 7. (B. 18, ex.18.22) Determine explicitamente a função de Green para os seguintes problemas:
, com
e
.
Passo 1
O problema é encontrar a função de Green
para
de modo que a solução seja
Para isso, vamos exigir em
que
e impor as condições de contorno em
e as condições de continuidade e salto no derivado em
.
Passo 2
Em cada intervalo
e
, a equação homogênea
tem solução geral linear em
. Assim, para
escrevemos
e para
escrevemos
Passo 3
Aplicamos as condições de contorno em
e em
:
-
implica , logo -
implica . No ramo temos , logo
Até agora
Passo 4
Impondo em
a continuidade de
e o salto unitário no derivado (pois
):
- Continuidade:
- Salto no derivado:
Logo
Passo 5
Substituindo
e
obtemos a função de Green final: