Questão 3. (3,0 pontos) Usando os resultados de Q1(c), determine uma solução limitada em r e periódica de período 2 pi em theta do problema de Dirichlet no interior do disco:
l ur r+1r ur+1r^2 utheta theta=0 na região D: r<2,0<theta<2 pi u(2, theta)=3+2 sen 3 theta ã

Passo 1

O enunciado pede uma função u(r,theta) que seja harmônica no disco r<2, limitada em r e 2pi-periódica em theta, satisfazendo a condição de contorno
u(2,theta)=3+2sin3theta
O método é separação de variáveis em coordenadas polares e desenvolvimento em série de Fourier, usando o resultado padrão de que a solução limitada no interior de um disco se escreve como combinação de potências r^n vezes funções trigonométricas.

Passo 2

Uma solução geral limitada em r e 2pi-periódica em theta é
u(r,theta) =A02 +sumn=1^inftyl(An,r^ncos ntheta +Bn,r^nsin nthetar)

Passo 3

Na fronteira r=2 deve valer
A02 +sumn=1^inftyl(An,2^ncos ntheta +Bn,2^nsin nthetar) =3+2sin3theta
Comparando coeficientes de Fourier:
1. Termo constante: tfracA02=3 Rightarrow A0=6.
2. Termos em cos ntheta: não há, logo An=0 para todo n>=1.
3. Termos em sin ntheta: só aparece 2sin3theta, então para n=3
B3,2^3=2 Longrightarrow B3=28=14,
e Bn=0 para nneq3.

Passo 4

Substituindo os coeficientes na série, fica
u(r,theta) =62 +14,r^3sin3theta =3+r^34,sin3theta

Resposta

u(r,theta)=3+r^34,sin3theta

Exercícios relacionados