Questão 3. (3,0 pontos) Usando os resultados de Q1(c), determine uma solução limitada em
e periódica de período
em
do problema de Dirichlet no interior do disco:
Passo 1
O enunciado pede uma função
que seja harmônica no disco
, limitada em
e
-periódica em
, satisfazendo a condição de contorno
O método é separação de variáveis em coordenadas polares e desenvolvimento em série de Fourier, usando o resultado padrão de que a solução limitada no interior de um disco se escreve como combinação de potências
vezes funções trigonométricas.
Passo 2
Uma solução geral limitada em
e
-periódica em
é
Passo 3
Na fronteira
deve valer
Comparando coeficientes de Fourier:
e
para
.
Passo 4
Substituindo os coeficientes na série, fica