Exercício 7. (B. 18, ex.18.22) Determine explicitamente a função de Green para os seguintes problemas:
d^2 ud x^2(x)=f(x), com u(0)=0 e u(1)+u^prime(1)=0.

Passo 1

O enunciado pede a função de Green para o problema
d^2udx^2(x)=f(x), u(0)=0, u(1)+u'(1)=0
Aqui o operador é L=d^2dx^2, que é auto-adjunto com as condições de contorno separadas. A função de Green G(x,xi) deve satisfazer, em x, as mesmas condições de contorno homogêneas
G(0,xi)=0, G(1,xi)+partialxG(1,xi)=0,
além de
partialx^2G(x,xi)=de<a(x-xi),
com continuidade em x=xi e salto unitário na derivada:
partialxGl(xi^+,xir)-partialxGl(xi^-,xir)=1

Passo 2

Para
Impondo .
Impondo na região

Passo 3

Em x=xi impomos:
1. Continuidade
A(xi),xi = C(xi),xi + D(xi)
2. Salto na derivada
partialxG(xi^+,xi)-partialxG(xi^-,xi) = C(xi)-A(xi)=1

Passo 4

Substituindo D(xi)=-2C(xi) nas condições de x=xi:
A,xi = C,xi-2C, C-A=1
Da segunda vem A=C-1. Na primeira:
(C-1),xi =C(xi-2) Longrightarrow C=xi2, A=xi2-1, D=-2C=-xi

Passo 5

Portanto a função de Green é
G(x,xi)= l(tfracxi2-1r),x =dfracxi-22,x, &0<= x<=xi,[1em] dfracxi2,x-xi =dfracxi2,(x-2), &xi<= x<=1 ]

Resposta

G(x,xi)= dfracxi-22,x,&0<= x<=xi,[6pt] dfracxi2,(x-2),&xi<= x<=1 ]

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