Se f(x)=|x^3-2 x^2+3 x-4|, para x in[-3,2], encontre um número real k, tal que f(x) <= k.

Passo 1

O enunciado define
f(x) = l|x^3 - 2x^2 + 3x - 4r|
para xin[-3,2] e pede um número real k tal que
f(x)<= k
em todo esse intervalo. Vamos usar a desigualdade triangular para obter um limite simples.

Passo 2

Pela desigualdade triangular para módulos, temos
f(x)=l|x^3-2x^2+3x-4r|<= |x^3| + |-2x^2| + |3x| + |-4|
ou seja
f(x)<= |x|^3 + 2|x|^2 + 3|x| + 4

Passo 3

Como xin[-3,2], vale |x|<= 3. Logo
f(x)<= 3^3 + 2cdot 3^2 + 3cdot 3 + 4 = 27 + 18 + 9 + 4 = 58

Passo 4

Portanto, basta escolher
k = 58,
pois para todo xin[-3,2] temos f(x)<= 58.

Resposta

k = 58

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