Exercício 7. (B. 18, ex.18.22) Determine explicitamente a função de Green para os seguintes problemas:
d^2 ud x^2(x)+u(x)=f(x), com u(0)=0 e u^prime(1)=0.

Passo 1

O enunciado pede a função de Green para o problema de contorno
u''(x)+u(x)=f(x), u(0)=0,;u'(1)=0,
ou seja, precisamos do operador L[u]=u''+u e construir G(x,s) a partir de duas soluções fundamentais da homogênea u''+u=0, cada uma respeitando uma das condições de contorno.

Passo 2

Escolhemos phi(x) solução de u''+u=0 que satisfaça a condição em x=0:
phi(0)=0, phi'(0)=1
A solução geral é Acos x+Bsin x. Impor phi(0)=0 A=0 e phi'(0)=B=1. Logo,
phi(x)=sin x

Passo 3

Escolhemos psi(x) solução de u''+u=0 que satisfaça a condição em x=1:
psi'(1)=0, psi(1)=1
A solução geral é Acos x+Bsin x. Impor psi'(1)=-Asin1+Bcos1=0 B=Atan1. Em seguida psi(1)=Acos1+Bsin1=A(cos1+tan1sin1)=A/cos1=1, logo A=cos1 e B=sin1. Assim,
psi(x)=cos1cos x+sin1sin x=cos(x-1)

Passo 4

O wronskiano de phi e psi é constante:
W[phi,psi](x) =phi(x),psi'(x)-phi'(x),psi(x) =sin xl(-sin(x-1)r)-cos xcos(x-1) =-cos1

Passo 5

A função de Green para um operador de segunda ordem sem termo em u' é
G(x,s)= dfracphi(x),psi(s)W[phi,psi],&x<= s,[6pt] dfracphi(s),psi(x)W[phi,psi],&x>= s ]

Passo 6

Substituindo
Como (-\cos(s-1)=\cos(1-s)], uma forma mais simétrica é
]

Resposta

G(x,s)=1cos1 sin x,cos(1-s),&0<= x<= s<=1,[4pt] sin s,cos(1-x),&0<= s<= x<=1 ]

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