Exercício 7. (B. 18, ex.18.22) Determine explicitamente a função de Green para os seguintes problemas:
, com
e
.
Passo 1
O enunciado pede a função de Green para o problema de contorno
ou seja, precisamos do operador
e construir
a partir de duas soluções fundamentais da homogênea
, cada uma respeitando uma das condições de contorno.
Passo 2
Escolhemos
solução de
que satisfaça a condição em
:
A solução geral é
. Impor
dá
e
. Logo,
Passo 3
Escolhemos
solução de
que satisfaça a condição em
:
A solução geral é
. Impor
dá
. Em seguida
, logo
e
. Assim,
Passo 4
O wronskiano de
e
é constante:
Passo 5
A função de Green para um operador de segunda ordem sem termo em
é
Passo 6
Substituindo
Como (-\cos(s-1)=\cos(1-s)], uma forma mais simétrica é
]