Se x in(1,4), mostre que f(x)=|x+2x-5|<6.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se xin(1,4), então
f(x)=|x+2x-5|<6
O conteúdo envolvido é manipulação algébrica de valores absolutos e desigualdades. Vamos primeiro simplificar a expressão dentro do módulo e depois usar que x>0 para retirar o valor absoluto e comparar com 6.

Passo 2

Simplificamos
x+2x-5=x+2-5xx=-4x+2x=-4x-2x
Para xin(1,4) o numerador 4x-2 é positivo (pois 4cdot1-2=2>0), logo
x+2x-5<0
e
|x+2x-5|=-l(x+2x-5r)=4x-2x

Passo 3

Logo
f(x)=4x-2x=4-2x
Queremos mostrar 4-2x<6. Como x>0, multiplicar por x preserva a desigualdade:
4x-2<6x Long<=ftrightarrow -2<2x Long<=ftrightarrow x>-1
E isso é verdade para todo xin(1,4). Portanto 4-tfrac2x<6.

Resposta

boxed|x+2x-5|<6para todo xin(1,4)

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