Questão 4. (2,0 pontos) Indique uma solução não trivial limitada em (0,1) da EDOLH:
Sugestão: Fazer a mudança de variável
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
em
e sugere a mudança de variável
O objetivo é transformar essa EDOLH numa equação de Bessel de ordem
, achar a solução geral em
e depois escolher a parte que fica limitada em
.
Passo 2
Expressamos derivadas de
em relação a
por derivadas em
. Como
, temos
Logo
Passo 3
Substituímos em cada termo da equação original:
Somando tudo, a equação fica
Passo 4
Reconhecemos a forma padrão da equação de Bessel
com
, i.e.\
. Portanto a solução geral em
é
onde
e
são as funções de Bessel de primeira e segunda espécie, respectivamente.
Passo 5
Voltando a
, lembramos
, logo
Em
temos
(limitado) e
(singular). Para obter uma solução não trivial limitada em
, basta escolher
.
Resposta
Uma solução não trivial limitada em
é