Questão 4. (2,0 pontos) Indique uma solução não trivial limitada em (0,1) da EDOLH:
9 x^2 y^prime prime+9 x y^prime+(x^2 / 3-25) y=0
Sugestão: Fazer a mudança de variável t=x^1 / 3.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
9 x^2y'' + 9 x y' + l(x^2/3-25r)y = 0
em 0<x<1 e sugere a mudança de variável
t = x^1/3
O objetivo é transformar essa EDOLH numa equação de Bessel de ordem nu, achar a solução geral em t e depois escolher a parte que fica limitada em xto0^+.

Passo 2

Expressamos derivadas de y em relação a x por derivadas em t. Como x=t^3, temos
ddx = 1dxdtddt = 13t^2ddt
Logo
y' = dydx = 13t^2yt,
y'' = ddxl(13t^2ytr) = 13t^2ddtl(13t^2ytr) = -29t^5yt + 19t^4ytt

Passo 3

Substituímos em cada termo da equação original:
9x^2y'' = 9t^6l(-29t^5yt + 19t^4yttr) = -2t,yt + t^2ytt,
9x,y' = 9t^3cdot13t^2yt = 3t,yt,
(x^2/3-25)y = (t^2-25)y
Somando tudo, a equação fica
t^2ytt + (-2t+3t)yt + (t^2-25)y = 0 ;Longrightarrow; t^2ytt + t,yt + (t^2-25)y = 0

Passo 4

Reconhecemos a forma padrão da equação de Bessel
t^2 ytt + t cdot yt + (t^2 - nu^2) y = 0
com nu^2 = 25, i.e.\ nu = 5. Portanto a solução geral em t é
y(t) = C1 J5(t) + C2 Y5(t),
onde J5 e Y5 são as funções de Bessel de primeira e segunda espécie, respectivamente.

Passo 5

Voltando a x, lembramos t=x^1/3, logo
y(x) = C1 J5l(x^1/3r) + C2 Y5l(x^1/3r)
Em xto0^+ temos J5(t)sim t^5 (limitado) e Y5(t)sim t^-5 (singular). Para obter uma solução não trivial limitada em (0,1), basta escolher C2=0.

Resposta

Uma solução não trivial limitada em (0,1) é
y(x)=J5l(x^1/3r)

Exercícios relacionados