Exercício 7. (B. 18, ex.18.22) Determine explicitamente a função de Green para os seguintes problemas: , com e .
Passo 1
O enunciado pede a função de Green para o problema
no intervalo .
Conteúdo: é um problema de Sturm–Liouville na forma com . Vamos encontrar duas soluções fundamentais da homogênea e usar a fórmula padrão de Green.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea
Integrando uma vez, . Integramos de novo
Logo a solução geral é .
Passo 3
Precisamos de duas funções lineares independentes que satisfaçam cada uma das condições de contorno:
deve ter . Como , basta escolher
deve ter . Como , tomamos
Passo 4
Calculamos o wronskiano usual
Temos e , então
Em problemas de Sturm–Liouville a quantidade é constante; aqui dá .
Passo 5
A fórmula da função de Green é, para
Como (p(s)W(s)=-1], isto fica ]
Passo 6
Substituindo y1 e y2:
y1(x)=ln x, y2(x)=1-ln x,
obtemos
G(x,s) = -ln x,(1-ln s),&1<= x<= s<= e, -ln s,(1-ln x),&1<= s<= x<= e
Podemos reescrever de forma equivalente:
G(x,s) = ln x,(ln s -1),&x<= s, ln s,(ln x -1),&x>= s
Resposta
G(x,s) = ln x,(ln s -1),&1<= x<= s<= e, ln s,(ln x -1),&1<= s<= x<= e