Exercício 7. (B. 18, ex.18.22) Determine explicitamente a função de Green para os seguintes problemas:
dd x(x d ud x(x))=f(x), com u(1)=0 e u(e)=0.

Passo 1

O enunciado pede a função de Green G(x,s) para o problema
ddxl(x,u'(x)r)=f(x), u(1)=0,;u(e)=0,
no intervalo [1,e].
Conteúdo: é um problema de Sturm–Liouville na forma l(p(x)u'r)' com p(x)=x. Vamos encontrar duas soluções fundamentais da homogênea e usar a fórmula padrão de Green.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea
ddxl(x,y'(x)r)=0
Integrando uma vez, x,y'(x)=C1Rightarrow y'(x)=tfracC1x. Integramos de novo
y(x)=C1ln x + C2
Logo a solução geral é y(x)=Aln x + B.

Passo 3

Precisamos de duas funções lineares independentes que satisfaçam cada uma das condições de contorno:
  • y1(x) deve ter y1(1)=0. Como ln1=0, basta escolher y1(x)=ln x
  • y2(x) deve ter y2(e)=0. Como ln e=1, tomamos y2(x)=1-ln x

Passo 4

Calculamos o wronskiano usual
W(x)=y1(x),y2'(x)-y1'(x),y2(x)
Temos y1'=tfrac1x e y2'=-tfrac1x, então
W(x) =ln xl(-tfrac1xr)-tfrac1x,(1-ln x) =-ln x -1 +ln xx =-1x
Em problemas de Sturm–Liouville a quantidade p(x)W(x) é constante; aqui p(x)=x pW=-1.

Passo 5

A fórmula da função de Green é, para
Como (p(s)W(s)=-1], isto fica
]

Passo 6

Substituindo y1 e y2:
y1(x)=ln x, y2(x)=1-ln x,
obtemos
G(x,s) = -ln x,(1-ln s),&1<= x<= s<= e, -ln s,(1-ln x),&1<= s<= x<= e
Podemos reescrever de forma equivalente:
G(x,s) = ln x,(ln s -1),&x<= s, ln s,(ln x -1),&x>= s

Resposta

G(x,s) = ln x,(ln s -1),&1<= x<= s<= e, ln s,(ln x -1),&1<= s<= x<= e

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