Suponha que a função
seja
-periódica. Esboce seu gráfico no intervalo
, calcule seus limites laterais nos pontos
e
, por fim, encontre sua série de Fourier:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para estender
, definida em
, de forma
-periódica, esboçar seu gráfico em
, calcular os limites laterais em
e em
, e por fim obter a série de Fourier de
. Vamos usar periodicidade, simetria (a função é par) e integração por partes para os coeficientes da série.
Passo 2
Em
,
é uma parábola voltada para cima, deslocada uma unidade para baixo, com vértice em
e pontos finais
. Como a extensão é
-periódica, basta repetir esse “arco” de parábola nos intervalos
e
, obtendo uma sucessão de parábolas idênticas. O esboço em
mostra dois períodos completos.
Passo 3
Para
, como
está no interior de um trecho contínuo,
Em
, pela periodicidade
. Como
e
,
Analogamente em
os limites lateral são iguais a
. Logo não há descontinuidade de salto.
Passo 4
Coeficiente
:
Passo 5
Coeficientes
(função par):
Calculamos
logo
Assim
Passo 6
Coeficientes
(produto de função par por senos, ímpar) dá zero:
Passo 7
Montando a série de Fourier,
Ou seja,
Resposta
— Gráfico: parábola
em
repetida a cada
.
— Limites laterais: em ,
; em
,
.
— Série de Fourier:
— Limites laterais: em
— Série de Fourier: