Suponha que a função f seja 2 pi-periódica. Esboce seu gráfico no intervalo [-2 pi, 2 pi], calcule seus limites laterais nos pontos x=0 e x= pm pi e, por fim, encontre sua série de Fourier:
(b) f(x)=x^2-1, -pi<x<pi

Passo 1

O enunciado pede para estender f(x)=x^2-1, definida em -pi<x<pi, de forma 2pi-periódica, esboçar seu gráfico em [-2pi,2pi], calcular os limites laterais em x=0 e em x=pmpi, e por fim obter a série de Fourier de f. Vamos usar periodicidade, simetria (a função é par) e integração por partes para os coeficientes da série.

Passo 2

Em -pi<x<pi, f(x)=x^2-1 é uma parábola voltada para cima, deslocada uma unidade para baixo, com vértice em (0,-1) e pontos finais (pmpi,pi^2-1). Como a extensão é 2pi-periódica, basta repetir esse “arco” de parábola nos intervalos [pi,3pi] e [-3pi,-pi], obtendo uma sucessão de parábolas idênticas. O esboço em [-2pi,2pi] mostra dois períodos completos.

Passo 3

Para xto0^pm, como 0 está no interior de um trecho contínuo,
limxto0^-f(x)=limxto0^+f(x)=f(0)=0^2-1=-1
Em x=pi, pela periodicidade f(pi^+)=f(pi+0)=f(-pi+0). Como f(pi^-)=pi^2-1 e f(-pi^+)=(-pi)^2-1=pi^2-1,
limxtopi^-f(x)=limxtopi^+f(x)=pi^2-1
Analogamente em x=-pi os limites lateral são iguais a pi^2-1. Logo não há descontinuidade de salto.

Passo 4

Coeficiente a0:
a0=1piintegral-pi^pi(x^2-1),dx =2piintegral0^pi(x^2-1),dx =2pil[x^33-xr]0^pi =2pil(pi^33-pir) =2pi^23-2

Passo 5

Coeficientes an (função par):
an=1piintegral-pi^pi(x^2-1)cos(nx),dx =2piintegral0^pi(x^2-1)cos(nx),dx
Calculamos
integral0^pix^2cos(nx),dx =2pi(-1)^nn^2,
integral0^picos(nx),dx =l[sin(nx)nr]0^pi=0,
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integral0^pi(x^2-1)cos(nx),dx =2pi(-1)^nn^2
Assim
an =2pi,2pi(-1)^nn^2 =4(-1)^nn^2

Passo 6

Coeficientes bn (produto de função par por senos, ímpar) dá zero:
bn=1piintegral-pi^pi(x^2-1)sin(nx),dx=0

Passo 7

Montando a série de Fourier,
f(x)sim a02+sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsin(nx)r) =l(2pi^2/3-22r) +4sumn=1^infty(-1)^nn^2cos(nx)
Ou seja,
f(x)=x^2-1 =l(pi^23-1r) +4sumn=1^infty(-1)^nn^2cos(nx)

Resposta

— Gráfico: parábola x^2-1 em [-pi,pi] repetida a cada 2pi.
— Limites laterais: em 0, -1; em pm pi, pi^2-1.
— Série de Fourier:
x^2-1 =l(pi^23-1r) +4sumn=1^infty(-1)^nn^2cos(nx)

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