Sejam I subset R um intervalo e f: I longrightarrow R uma função.
Suponha I aberto e f derivável em I e tal que f^prime(x) neq 0 em cada x in I. Mostre que f é uma função injetora;

Passo 1

O enunciado afirma que IsubsetR é um intervalo aberto e que fcolon ItoR é derivável em I com f'(x)neq 0 para todo xin I. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Médio (TVM), que diz que, se f é contínua em [x,y]subset I e derivável em (x,y), então existe cin(x,y) tal que
f(y)-f(x)=f'(c),(y-x)

Passo 2

Tomemos quaisquer x,yin I com x<y. Como I é um intervalo aberto, o segmento [x,y] fica contido em I, de modo que podemos aplicar o TVM. Logo, existe cin(x,y) tal que
f(y)-f(x)=f'(c),(y-x)
Aqui ,y-x>0 e por hipótese f'(c)neq 0, então o produto f'(c),(y-x) é diferente de zero. Portanto
f(y)-f(x)neq 0 Longrightarrow f(y)neq f(x)

Passo 3

Mostramos que, sempre que xneq y, vale f(x)neq f(y). Isso é exatamente a definição de função injetora.

Resposta

A função f é injetora.

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