Sejam
um intervalo e
uma função.
Suponha
aberto e
derivável em
e tal que
em cada
. Mostre que
é uma função injetora;
Suponha
Passo 1
O enunciado afirma que
é um intervalo aberto e que
é derivável em
com
para todo
. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Médio (TVM), que diz que, se
é contínua em
e derivável em
, então existe
tal que
Passo 2
Tomemos quaisquer
com
. Como
é um intervalo aberto, o segmento
fica contido em
, de modo que podemos aplicar o TVM. Logo, existe
tal que
Aqui
e por hipótese
, então o produto
é diferente de zero. Portanto
Passo 3
Mostramos que, sempre que
, vale
. Isso é exatamente a definição de função injetora.
Resposta
A função
é injetora.