Exercício 3.
(b) Converta a equação x^2+y^2+z^2=9 para coordenadas esféricas. ( 0,5 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $ e precisamos transformar isso para coordenadas esféricas. Isso envolve entender de coordenadas cartesianas para esféricas, que é uma maneira diferente de representar pontos no espaço usando raio, ângulo polar e ângulo azimutal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Nessa sistema, qualquer ponto no espaço é representado por três valores:
  • $ \rho $: a distância do ponto até a origem.
  • $ \theta $: o ângulo polar, que é o ângulo entre o raio $ \rho $ e o eixo $ z $.
  • $ \phi $: o ângulo azimutal, que é o ângulo no plano $ xy $ a partir do eixo $ x $.
As relações para converter de cartesianas para esféricas são:
rho
theta
rho

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso na equação dada: $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $. Substituindo as expressões de $ x $, $ y $ e $ z $ em termos de $ \rho $, $ \theta $ e $ \phi $, temos:
x^2 + y^2 + z^2 = 9

Passo 4

Vamos simplificar essa equação. Expandindo os quadrados:
rho^2 sin^2theta cos^2phi + rho^2 sin^2theta sin^2phi + rho^2 cos^2theta = 9
Fatorando $ \rho^{2} $:
rho^2

Passo 5

Observando a parte dentro dos parênteses:
sin^2theta (cos^2phi + sin^2phi) + cos^2theta
Sabemos que $ \cos^{2}{\phi} + \sin^{2}{\phi} = 1 $, então:
cos^2phi + sin^2phi = 1
Portanto:
sin^2theta cdot 1 + cos^2theta = sin^2theta + cos^2theta = 1
Isso simplifica para:
rho^2 cdot 1 = 9

Passo 6

Resolvendo para $ \rho $:
rho
Como $ \rho $ é uma distância, consideramos apenas o valor positivo.

Resposta

A equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $ em coordenadas esféricas fica $ \rho = 3 $.

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