Exercício 3.
(b) Converta a equação
para coordenadas esféricas. ( 0,5 ponto)
(b) Converta a equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $ e precisamos transformar isso para coordenadas esféricas. Isso envolve entender de coordenadas cartesianas para esféricas, que é uma maneira diferente de representar pontos no espaço usando raio, ângulo polar e ângulo azimutal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Nessa sistema, qualquer ponto no espaço é representado por três valores:
- $ \rho $: a distância do ponto até a origem.
- $ \theta $: o ângulo polar, que é o ângulo entre o raio $ \rho $ e o eixo $ z $.
- $ \phi $: o ângulo azimutal, que é o ângulo no plano $ xy $ a partir do eixo $ x $.
As relações para converter de cartesianas para esféricas são:
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso na equação dada: $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $. Substituindo as expressões de $ x $, $ y $ e $ z $ em termos de $ \rho $, $ \theta $ e $ \phi $, temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação. Expandindo os quadrados:
Fatorando $ \rho^{2} $:
Passo 5
Observando a parte dentro dos parênteses:
Sabemos que $ \cos^{2}{\phi} + \sin^{2}{\phi} = 1 $, então:
Portanto:
Isso simplifica para:
Passo 6
Resolvendo para $ \rho $:
Como $ \rho $ é uma distância, consideramos apenas o valor positivo.
Resposta
A equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $ em coordenadas esféricas fica $ \rho = 3 $.