Exercício 3.
© Converta a equação rho=4 (coordenadas esféricas) para a forma cartesiana e identifique a superfície. ( 1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para converter a equação rho = 4 das coordenadas esféricas para a forma cartesiana e identificar qual é a superfície resultante. Para isso, vamos precisar entender as relações entre coordenadas esféricas e cartesianas e saber como transformar uma equação de um sistema para o outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas esféricas se relacionam com as coordenadas cartesianas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores: rho (a distância do ponto até a origem), theta (o ângulo polar, medindo a inclinação em relação ao eixo z) e phi (o ângulo azimutal, medindo a rotação em torno do eixo z).
A conversão para coordenadas cartesianas (x, y, z) é feita pelas seguintes fórmulas:
x = rho sintheta cosphi
y = rho sintheta sinphi
z = rho costheta

Passo 3

No nosso caso, a equação dada é rho = 4. Isso significa que todos os pontos que satisfazem essa equação estão a uma distância fixa de 4 unidades da origem, independentemente dos ângulos theta e phi.

Passo 4

Para converter rho = 4 para coordenadas cartesianas, podemos usar a relação que liga rho com x, y e z. Sabemos que:
rho = raizx^2 + y^2 + z^2
Então, substituindo rho por 4:
4 = raizx^2 + y^2 + z^2

Passo 5

Agora, para simplificar e obter a equação na forma cartesiana, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
4^2 = (raizx^2 + y^2 + z^2)^2
16 = x^2 + y^2 + z^2

Passo 6

A equação final em coordenadas cartesianas é:
x^2 + y^2 + z^2 = 16
Essa é a equação de uma esfera com raio 4 e centro na origem.

Resposta

A equação rho = 4 em coordenadas cartesianas é x^2 + y^2 + z^2 = 16, que representa uma esfera de raio 4 com centro na origem.

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