Exercício 3.
© Converta a equação
(coordenadas esféricas) para a forma cartesiana e identifique a superfície. ( 1,0 ponto)
© Converta a equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para converter a equação
das coordenadas esféricas para a forma cartesiana e identificar qual é a superfície resultante. Para isso, vamos precisar entender as relações entre coordenadas esféricas e cartesianas e saber como transformar uma equação de um sistema para o outro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas esféricas se relacionam com as coordenadas cartesianas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores:
(a distância do ponto até a origem),
(o ângulo polar, medindo a inclinação em relação ao eixo z) e
(o ângulo azimutal, medindo a rotação em torno do eixo z).
A conversão para coordenadas cartesianas
é feita pelas seguintes fórmulas:
Passo 3
No nosso caso, a equação dada é
. Isso significa que todos os pontos que satisfazem essa equação estão a uma distância fixa de 4 unidades da origem, independentemente dos ângulos
e
.
Passo 4
Para converter
para coordenadas cartesianas, podemos usar a relação que liga
com
,
e
. Sabemos que:
Então, substituindo
por 4:
Passo 5
Agora, para simplificar e obter a equação na forma cartesiana, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 6
A equação final em coordenadas cartesianas é:
Essa é a equação de uma esfera com raio 4 e centro na origem.
Resposta
A equação
em coordenadas cartesianas é
, que representa uma esfera de raio 4 com centro na origem.