Nos problemas 17 a 30, encontre solução geral para equação diferencial usando algum método estudado em sala.
y^prime prime-2 y^prime+y=e^-x ln (x)

Passo 1

A equação dada é uma EDO linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: precisamos achar a solução geral de
y''-2y'+y=e^-xln(x)
Vamos usar o método de variação de parâmetros: primeiro a solução homogênea, depois construímos uma particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, montamos a equação característica
r^2-2r+1=0,
cuja raiz dupla é r=1. Logo, a solução homogênea é
yh=C1e^x+C2xe^x

Passo 3

No método de variação de parâmetros, escolhemos as soluções fundamentais
$$y_1=e^x,
\quad y_2=xe^x y1=e^x, y2=xe^xW=y_1y_2’-y_1’y_2=e^{2x}.$$

Passo 4

As fórmulas do método dizem que a particular é
$$y_p=-y_1, int rac{y_2g}{W},dx
i+ y_2, int rac{y_1g}{W},dx,
yp=-y1, int racy2gW,dx i+ y2, int racy1gW,dx, I_1= int x e^{-2x}\ln(x),dx,
i
I_2= int e^{-2x}\ln(x),dx.
$$

Passo 5

Substituindo em yp e somando com yh, obtemos a solução geral
$$y(x)=C_1ex+C_2xex
e^{-x}\Bigl(-\tfrac14(\ln x+1)\Bigr)
+e^x\Bigl(-x,I_2+I_1\Bigr),$$
onde y(x)=C1e^x+C2xe^x e^-xl(-tfrac14(ln x+1)r) +e^xl(-x,I2+I1r), e I1 são os integrais acima (podem ser expressos via função Ei).

Resposta

A solução geral é
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x}
-e^{x}\int x e^{-2x}\ln(x),dx
  • x e^{x}\int e^{-2x}\ln(x),dx

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