Nos problemas 17 a 30, encontre solução geral para equação diferencial usando algum método estudado em sala.
Passo 1
A equação dada é uma EDO linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: precisamos achar a solução geral de
Vamos usar o método de variação de parâmetros: primeiro a solução homogênea, depois construímos uma particular.
Passo 2
Para a parte homogênea, montamos a equação característica
cuja raiz dupla é
Passo 3
No método de variação de parâmetros, escolhemos as soluções fundamentais
$$y_1=e^x,
\quad y_2=xe^x
W=y_1y_2’-y_1’y_2=e^{2x}.$$
Passo 4
As fórmulas do método dizem que a particular é
$$y_p=-y_1, intrac{y_2g}{W},dx
i+ y_2, intrac{y_1g}{W},dx,
i
I_2= int e^{-2x}\ln(x),dx.
I_2= int e^{-2x}\ln(x),dx.
$$
Passo 5
Substituindo em
e somando com
, obtemos a solução geral
$$y(x)=C_1ex+C_2xex
e^{-x}\Bigl(-\tfrac14(\ln x+1)\Bigr)
+e^x\Bigl(-x,I_2+I_1\Bigr),$$
onde e
são os integrais acima (podem ser expressos via função Ei).
onde
Resposta
A solução geral é
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x}
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x}
-e^{x}\int x e^{-2x}\ln(x),dx
- x e^{x}\int e^{-2x}\ln(x),dx