Nos problemas 17 a 30, encontre solução geral para equação diferencial usando algum método estudado em sala.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes
O método que vamos usar é: 1) resolver a equação homogênea associada, 2) encontrar uma solução particular para cada termo do lado direito (termo constante e termo exponencial), 3) somar tudo para obter a solução geral.
Passo 2
A parte homogênea é dada por
A equação característica é
cuja raiz dupla é
. Logo a solução homogênea é
pois em caso de raiz dupla multiplicamos por
para obter a segunda solução linearmente independente.
Passo 3
Para o termo constante
no lado direito, fazemos o palpite
onde
é constante. Substituindo na equação original:
implica
. Portanto
Passo 4
Para o termo
temos ressonância, já que
é raiz dupla da homogênea. Então o palpite deve ser
Calculando as derivadas e substituindo em
opta-se por agrupar os coeficientes de
. Após simplificar, obtemos
que leva a
. Logo
Passo 5
Somando tudo, a solução geral é a soma da homogênea com as particulares:
Passo 6
que podemos reorganizar como
Resposta
y(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x+\tfrac12x{2}\bigr)e{x/2}+12