Nos problemas 17 a 30, encontre solução geral para equação diferencial usando algum método estudado em sala.
y^prime prime-y^prime+14 y=3+e^x / 2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes
y''-y'+tfrac14y=3+e^x/2
O método que vamos usar é: 1) resolver a equação homogênea associada, 2) encontrar uma solução particular para cada termo do lado direito (termo constante e termo exponencial), 3) somar tudo para obter a solução geral.

Passo 2

A parte homogênea é dada por
y''-y'+tfrac14y=0
A equação característica é
r^2 - r + tfrac14 = 0,
cuja raiz dupla é r=tfrac12. Logo a solução homogênea é
yh=(C1 + C2 x)e^x/2,
pois em caso de raiz dupla multiplicamos por x para obter a segunda solução linearmente independente.

Passo 3

Para o termo constante 3 no lado direito, fazemos o palpite
yp1=A,
onde A é constante. Substituindo na equação original:
0-0+tfrac14A=3
implica A=12. Portanto
yp1=12

Passo 4

Para o termo e^x/2 temos ressonância, já que r=tfrac12 é raiz dupla da homogênea. Então o palpite deve ser
yp2=B x^2 e^x/2
Calculando as derivadas e substituindo em
y''-y'+tfrac14y=e^x/2,
opta-se por agrupar os coeficientes de e^x/2. Após simplificar, obtemos
2B e^x/2=e^x/2
que leva a B=tfrac12. Logo
yp2=tfrac12 x^2 e^x/2

Passo 5

Somando tudo, a solução geral é a soma da homogênea com as particulares:

Passo 6

y(x)=(C1 + C2 x)e^x/2 +12 + tfrac12 x^2 e^x/2
que podemos reorganizar como
y(x)=l(C1 + C2 x + tfrac12 x^2r)e^x/2 +12

Resposta

y(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x+\tfrac12x{2}\bigr)e{x/2}+12

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