Exercício 1. Para
, mostre que
Passo 1
O enunciado nos coloca no contexto do grupo
, em que cada inteiro
tem um inverso aditivo, denotado por
, tal que
A tarefa é mostrar que o inverso aditivo de
é exatamente
, i.e.\ que
Passo 2
Pela definição de inverso aditivo, sabemos que
Mas a adição em
é comutativa, logo também vale
Note que isso implica que
é um elemento que, somado a
, dá zero, ou seja,
é um inverso aditivo de
.
Passo 3
No grupo
, o inverso aditivo de cada elemento é único. Como acabamos de ver,
satisfaz
logo
é exatamente o inverso aditivo de
. Pela unicidade do inverso, concluímos que