Exercício 1. Para a, b \in \mathbb{Z}, mostre que
-(-a)=a

Passo 1

O enunciado nos coloca no contexto do grupo (\mathbb{Z},+), em que cada inteiro a tem um inverso aditivo, denotado por -a, tal que
a + (-a) = 0.
A tarefa é mostrar que o inverso aditivo de -a é exatamente a, i.e.\ que
-(-a) = a.

Passo 2

Pela definição de inverso aditivo, sabemos que
(-a) + a = 0.
Mas a adição em \mathbb{Z} é comutativa, logo também vale
a + (-a) = 0.
Note que isso implica que a é um elemento que, somado a -a, dá zero, ou seja, a é um inverso aditivo de -a.

Passo 3

No grupo (\mathbb{Z},+), o inverso aditivo de cada elemento é único. Como acabamos de ver, a satisfaz
(-a) + a = 0,
logo a é exatamente o inverso aditivo de -a. Pela unicidade do inverso, concluímos que
-(-a) = a.

Resposta

-(-a) = a.

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