Calcule, por substituição, as integrais abaixo:
integral x 2^x^2+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular, por substituição, a integral indefinida
integral x,2^x^2+1,dx.
O método de substituição (ou mudança de variável) consiste em escolher
uma nova variável u de modo que a integral em x se torne mais simples
em u, usando a relação du para substituir dx.

Passo 2

Escolhemos
u = x^2 + 1,
então
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Substituindo na integral original, obtemos
integral x,2^x^2+1,dx = integral 2^u,du2 = 12integral 2^u,du

Passo 3

Sabemos que
integral 2^u,du = 2^uln 2 + C
Logo,
12integral 2^u,du = 12,2^uln 2 + C = 2^u2ln 2 + C
Voltando à variável x via u = x^2+1 e simplificando 2^x^2+1=2cdot2^x^2, temos
2^x^2+12ln 2 = 2cdot2^x^22ln 2 = 2^x^2ln 2

Resposta

integral x,2^x^2+1,dx = 2^x^2ln 2 + C

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