Exercício 7: Uma barra cilíndrica com 120 mm de comprimento e diâmetro de
deve ser deformada utilizando-se uma carga de tração de 35.000 N . Ela não deve sofrer deformação plástica, e a redução no seu diâmetro não deve ser superior a
. Entre os materiais listados a seguir, quais são possíveis candidatos? Justifique sua(s) escolha(s).
Material
Módulo
Elasticidade (GPa)
deResistência
Escoamento (MPa)
aoCoeficiente
Poisson
de
Liga de alumínio
70
250
0,33
Liga de titânio
105
850
0,36
Liga de aço
205
550
0,27
Liga magnésio
170
170
0,35
| Material |
|
|
|
de |
| Liga de alumínio | 70 | 250 | 0,33 |
| Liga de titânio | 105 | 850 | 0,36 |
| Liga de aço | 205 | 550 | 0,27 |
| Liga magnésio | 170 | 170 | 0,35 |
Passo 1
O que o problema pede:
- Escolher, dentre as ligas dadas, quais podem ser usadas para uma barra cilíndrica submetida a uma carga de tração
de modo que: - A barra NÃO sofra deformação plástica (ou seja, a tensão axial aplicada deve ser menor que a tensão de escoamento do material).
- A redução no diâmetro seja menor ou igual a
.
Informações fornecidas (peguei estes números da tabela do enunciado):
- Comprimento da barra:
. - Diâmetro inicial:
. - Carga aplicada:
. - Para cada material a tabela dá:
- Módulo de elasticidade
em (vou converter para quando necessário), - Tensão de escoamento
em , - Coeficiente de Poisson
.
- Módulo de elasticidade
Tabela (valores usados):
- Liga de alumínio:
, , . - Liga de titânio:
, , . - Liga de aço:
, , . - Liga de magnésio:
, , .
Plano de verificação (resumo do método que vou aplicar):
- Calcular a tensão axial média
, com . - Verificar para cada material se
(critério sem escoamento). - Se estiver no regime elástico, calcular a deformação axial
(Lei de Hooke linear). - Usar o coeficiente de Poisson para obter a deformação lateral (contração)
e daí a redução absoluta do diâmetro . - Comparar
com o máximo permitido .
Passo 2
Calcular a área da seção transversal da barra (usei
do enunciado):
Passo 3
Calcular a tensão axial média
(em
; lembrar que
):
Interpretação rápida: essa é a tensão média à qual o material será submetido na seção; se exceder a tensão de escoamento o material plastificará.
Passo 4
Verificação do critério de não escoamento (
) para cada material (valores de
retirados da tabela):
- Liga de alumínio:
. Como , NÃO há escoamento para o alumínio (permanece no regime elástico). - Liga de titânio:
. Como , NÃO há escoamento. - Liga de aço:
. Como , NÃO há escoamento. - Liga de magnésio:
. Como , HÁ escoamento — portanto a liga de magnésio já é eliminada (não atende à condição 1).
Conclusão parcial: magnésio é automaticamente descartado por exceder a tensão de escoamento. Ainda precisamos verificar a redução de diâmetro para as demais.
Passo 5
Explicar e aplicar a Lei de Hooke e o efeito de Poisson:
- Em regime elástico linear, a deformação axial (adimensional) é dada por
onde
está em
e
deve estar na mesma unidade (
). Como
foi dado em
, faço
.
- O coeficiente de Poisson
relaciona a contração lateral com a extensão axial:
- A redução absoluta do diâmetro (valor positivo) é
Vou calcular
,
e
para as três ligas que passaram no critério de escoamento.
Passo 6
Cálculos numéricos detalhados:
- Liga de alumínio (
, ):
Comparação com o limite
:
. Portanto a liga de alumínio NÃO atende à restrição de redução de diâmetro.
- Liga de titânio (
, ):
Comparação:
. Portanto a liga de titânio atende à restrição de redução de diâmetro (e já havia passado no critério de escoamento).
- Liga de aço (
, ):
Comparação:
. Portanto a liga de aço também atende à restrição de redução de diâmetro (e já havia passado no critério de escoamento).
Passo 7
Resumo das conclusões (com justificativa curta e direta):
- Liga de magnésio: eliminada porque a tensão aplicada
é maior que (ocorre escoamento). - Liga de alumínio: não se plastifica (
), mas a redução de diâmetro calculada é maior que o limite , portanto também é eliminada. - Liga de titânio: satisfaz ambos os requisitos (
e ). - Liga de aço: satisfaz ambos os requisitos (
e ).
Portanto os candidatos possíveis são a liga de titânio e a liga de aço.
Resposta
Liga de titânio
Liga de aço
Liga de aço