Exercício 7: Uma barra cilíndrica com 120 mm de comprimento e diâmetro de 15,0 \mathrm{~mm} deve ser deformada utilizando-se uma carga de tração de 35.000 N . Ela não deve sofrer deformação plástica, e a redução no seu diâmetro não deve ser superior a 1,2 \times 10^{-2} \mathrm{~mm}. Entre os materiais listados a seguir, quais são possíveis candidatos? Justifique sua(s) escolha(s).
Material
Módulo
Elasticidade (GPa)
deResistência
Escoamento (MPa)
aoCoeficiente
Poisson
de
Liga de alumínio 70 250 0,33
Liga de titânio 105 850 0,36
Liga de aço 205 550 0,27
Liga magnésio 170 170 0,35

Passo 1

O que o problema pede:
  • Escolher, dentre as ligas dadas, quais podem ser usadas para uma barra cilíndrica submetida a uma carga de tração P de modo que:
    1. A barra NÃO sofra deformação plástica (ou seja, a tensão axial aplicada deve ser menor que a tensão de escoamento do material).
    2. A redução no diâmetro seja menor ou igual a \,1,2\times10^{-2}\\ \mathrm{mm}\,.
Informações fornecidas (peguei estes números da tabela do enunciado):
  • Comprimento da barra: L=120\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro inicial: d=15{,}0\\ \mathrm{mm}.
  • Carga aplicada: P=35\,000\\ \mathrm{N}.
  • Para cada material a tabela dá:
    • Módulo de elasticidade E em \mathrm{GPa} (vou converter para \mathrm{MPa} quando necessário),
    • Tensão de escoamento \sigma_{y} em \mathrm{MPa},
    • Coeficiente de Poisson \nu.
Tabela (valores usados):
  • Liga de alumínio: E=70\\ \mathrm{GPa}, \sigma_{y}=250\\ \mathrm{MPa}, \nu=0{,}33.
  • Liga de titânio: E=105\\ \mathrm{GPa}, \sigma_{y}=850\\ \mathrm{MPa}, \nu=0{,}36.
  • Liga de aço: E=205\\ \mathrm{GPa}, \sigma_{y}=550\\ \mathrm{MPa}, \nu=0{,}27.
  • Liga de magnésio: E=170\\ \mathrm{GPa}, \sigma_{y}=170\\ \mathrm{MPa}, \nu=0{,}35.
Plano de verificação (resumo do método que vou aplicar):
  1. Calcular a tensão axial média \sigma=\dfrac{P}{A}, com A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}.
  2. Verificar para cada material se \sigma<\sigma_{y} (critério sem escoamento).
  3. Se estiver no regime elástico, calcular a deformação axial \varepsilon=\dfrac{\sigma}{E} (Lei de Hooke linear).
  4. Usar o coeficiente de Poisson para obter a deformação lateral (contração) \varepsilon_{\text{lat}}=-\nu\varepsilon e daí a redução absoluta do diâmetro \Delta d = d\cdot|\varepsilon_{\text{lat}}| = d\,\nu\,\varepsilon.
  5. Comparar \Delta d com o máximo permitido 1{,}2\times10^{-2}\\ \mathrm{mm}.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal da barra (usei d=15{,}0\\ \mathrm{mm} do enunciado):
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi(15{,}0)^{2}}{4}=\frac{225\pi}{4}\\ \mathrm{mm}^{2}\approx 176{,}7146\\ \mathrm{mm}^{2}.

Passo 3

Calcular a tensão axial média \sigma (em \mathrm{MPa}; lembrar que 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N/mm^{2}}):
\sigma=\frac{P}{A}=\frac{35\,000\\ \mathrm{N}}{176{,}7146\\ \mathrm{mm}^{2}}\approx 198{,}15\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação rápida: essa é a tensão média à qual o material será submetido na seção; se exceder a tensão de escoamento o material plastificará.

Passo 4

Verificação do critério de não escoamento ( \sigma<\sigma_{y}) para cada material (valores de \sigma_{y} retirados da tabela):
  • Liga de alumínio: \sigma_{y}=250\\ \mathrm{MPa}. Como \sigma\approx 198{,}15\\ \mathrm{MPa}<250\\ \mathrm{MPa}, NÃO há escoamento para o alumínio (permanece no regime elástico).
  • Liga de titânio: \sigma_{y}=850\\ \mathrm{MPa}. Como 198{,}15<850, NÃO há escoamento.
  • Liga de aço: \sigma_{y}=550\\ \mathrm{MPa}. Como 198{,}15<550, NÃO há escoamento.
  • Liga de magnésio: \sigma_{y}=170\\ \mathrm{MPa}. Como 198{,}15>170, HÁ escoamento — portanto a liga de magnésio já é eliminada (não atende à condição 1).
Conclusão parcial: magnésio é automaticamente descartado por exceder a tensão de escoamento. Ainda precisamos verificar a redução de diâmetro para as demais.

Passo 5

Explicar e aplicar a Lei de Hooke e o efeito de Poisson:
  • Em regime elástico linear, a deformação axial (adimensional) é dada por
\varepsilon=\frac{\sigma}{E},
onde \sigma está em \mathrm{MPa} e E deve estar na mesma unidade ( \mathrm{MPa}). Como E foi dado em \mathrm{GPa}, faço E_{\mathrm{(MPa)}}=E_{\mathrm{(GPa)}}\times 1000.
  • O coeficiente de Poisson \nu relaciona a contração lateral com a extensão axial:
\varepsilon_{\text{lat}}=-\nu\,\varepsilon.
  • A redução absoluta do diâmetro (valor positivo) é
\Delta d = d\cdot|\varepsilon_{\text{lat}}| = d\,\nu\,\varepsilon.
Vou calcular \varepsilon, \varepsilon_{\text{lat}} e \Delta d para as três ligas que passaram no critério de escoamento.

Passo 6

Cálculos numéricos detalhados:
  1. Liga de alumínio ( E=70\\ \mathrm{GPa}=70\,000\\ \mathrm{MPa}, \nu=0{,}33):
\varepsilon=\frac{198{,}15}{70\,000}\approx 0{,}0028307\quad(\text{adimensional})
\varepsilon_{\text{lat}}=-\nu\varepsilon\approx -0{,}33\times 0{,}0028307\approx -0{,}0009341
\Delta d = d\,\nu\,\varepsilon \approx 15{,}0\times 0{,}0009341\\ \mathrm{mm}\approx 0{,}01401\\ \mathrm{mm}=1{,}401\times10^{-2}\\ \mathrm{mm}.
Comparação com o limite 1{,}2\times10^{-2}\\ \mathrm{mm}: \Delta d\approx 1{,}401\times10^{-2} > 1{,}2\times10^{-2}. Portanto a liga de alumínio NÃO atende à restrição de redução de diâmetro.
  1. Liga de titânio ( E=105\\ \mathrm{GPa}=105\,000\\ \mathrm{MPa}, \nu=0{,}36):
\varepsilon=\frac{198{,}15}{105\,000}\approx 0{,}0018871
\varepsilon_{\text{lat}}=-0{,}36\times 0{,}0018871\approx -0{,}0006794
\Delta d \approx 15{,}0\times 0{,}0006794\\ \mathrm{mm}\approx 0{,}01019\\ \mathrm{mm}=1{,}019\times10^{-2}\\ \mathrm{mm}.
Comparação: 1{,}019\times10^{-2} < 1{,}2\times10^{-2}. Portanto a liga de titânio atende à restrição de redução de diâmetro (e já havia passado no critério de escoamento).
  1. Liga de aço ( E=205\\ \mathrm{GPa}=205\,000\\ \mathrm{MPa}, \nu=0{,}27):
\varepsilon=\frac{198{,}15}{205\,000}\approx 0{,}0009678
\varepsilon_{\text{lat}}=-0{,}27\times 0{,}0009678\approx -0{,}0002612
\Delta d \approx 15{,}0\times 0{,}0002612\\ \mathrm{mm}\approx 0{,}003918\\ \mathrm{mm}=3{,}918\times10^{-3}\\ \mathrm{mm}.
Comparação: 3{,}918\times10^{-3} < 1{,}2\times10^{-2}. Portanto a liga de aço também atende à restrição de redução de diâmetro (e já havia passado no critério de escoamento).

Passo 7

Resumo das conclusões (com justificativa curta e direta):
  • Liga de magnésio: eliminada porque a tensão aplicada \sigma\approx 198{,}15\\ \mathrm{MPa} é maior que \sigma_{y}=170\\ \mathrm{MPa} (ocorre escoamento).
  • Liga de alumínio: não se plastifica ( \sigma<\sigma_{y}), mas a redução de diâmetro calculada \Delta d\approx 1{,}401\times10^{-2}\\ \mathrm{mm} é maior que o limite 1{,}2\times10^{-2}\\ \mathrm{mm}, portanto também é eliminada.
  • Liga de titânio: satisfaz ambos os requisitos ( \sigma<\sigma_{y} e \Delta d\approx 1{,}019\times10^{-2}\\ \mathrm{mm}<1{,}2\times10^{-2}\\ \mathrm{mm}).
  • Liga de aço: satisfaz ambos os requisitos ( \sigma<\sigma_{y} e \Delta d\approx 3{,}918\times10^{-3}\\ \mathrm{mm}<1{,}2\times10^{-2}\\ \mathrm{mm}).
Portanto os candidatos possíveis são a liga de titânio e a liga de aço.

Resposta

Liga de titânio
Liga de aço

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