Exercício 2: Um corpo de prova cilíndrico de uma liga de níquel, que possui um módulo de elasticidade de
e um diâmetro original de
, somente apresentará deformação elástica quando uma carga de tração de 8900 N (2000
) for aplicada. Calcule o comprimento máximo do corpo de prova antes da deformação se o alongamento máximo admissível é de
.
Passo 1
Vamos deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Módulo de elasticidade:
. - Diâmetro do corpo de prova:
. - Carga de tração aplicada:
. - Alongamento máximo admissível:
.
- Módulo de elasticidade:
-
O que o enunciado pede:
- Calcular o comprimento máximo inicial
do corpo de prova tal que, sob a carga , o alongamento não ultrapasse . Ou seja, achar tal que quando a força é aplicada.
- Calcular o comprimento máximo inicial
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (explicadinho passo a passo).
-
Definição de módulo de elasticidade (Young):
- O módulo de elasticidade
relaciona tensão (stress) e deformação (strain) na região elástica linear por
Aqui:-
é a tensão normal ao corte, definida por , onde é a força axial e é a área da seção transversal. -
é a deformação axial relativa, definida por , onde é o alongamento e é o comprimento inicial.
- O módulo de elasticidade
-
Substituindo
e na definição de : Dessa expressão, isolamos(é o que queremos): Explicação: a fórmula mostra que, para uma força dada, quanto maior a área e o módulo, maior pode ser o comprimento para um mesmo admissível.
Passo 3
Calcular a área da seção transversal
(seção circular).
- Fórmula da área de um círculo:
- Substituindo
: - Cálculo passo a passo:
Passo 4
Substituir na fórmula de
e calcular numericamente.
- Fórmula já obtida:
- Substituindo
, , e : - Calcular em etapas:
- Convertendo para unidades mais usuais:
Passo 5
Verificação rápida (checada em unidades imperiais com os valores fornecidos no enunciado em polegadas e psi, só para comparar):
- Usando
, , , :
- Comentário sobre a pequena diferença entre os dois resultados (475 mm vs 479 mm): ela vem das aproximações e arredondamentos nas versões imperial/numéricas fornecidas no enunciado (por exemplo,
corresponde a cerca de mas há pequenas diferenças de conversão). O resultado principal (usando o conjunto métrico) é .