Exercício 2: Um corpo de prova cilíndrico de uma liga de níquel, que possui um módulo de elasticidade de 207 \mathrm{GPa}\left(30 \times 10^{6} \mathrm{psi}\right) e um diâmetro original de 10,2 \mathrm{~mm}(0,40 \mathrm{in}), somente apresentará deformação elástica quando uma carga de tração de 8900 N (2000 \mathrm{lb}_{\mathrm{f}} ) for aplicada. Calcule o comprimento máximo do corpo de prova antes da deformação se o alongamento máximo admissível é de 0,25 \mathrm{~mm}(0,010 \mathrm{in}).

Passo 1

Vamos deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Módulo de elasticidade: E=207\\ \mathrm{GPa} = 207\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
    • Diâmetro do corpo de prova: d=10{,}2\\ \mathrm{mm} = 0{,}0102\\ \mathrm{m}.
    • Carga de tração aplicada: F=8900\\ \mathrm{N}.
    • Alongamento máximo admissível: \Delta L_{\max}=0{,}25\\ \mathrm{mm} = 0{,}00025\\ \mathrm{m}.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular o comprimento máximo inicial L_{0} do corpo de prova tal que, sob a carga F, o alongamento não ultrapasse \Delta L_{\max}. Ou seja, achar L_{0} tal que \Delta L \le \Delta L_{\max} quando a força F é aplicada.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicadinho passo a passo).
  • Definição de módulo de elasticidade (Young):
    • O módulo de elasticidade E relaciona tensão (stress) e deformação (strain) na região elástica linear por
    E=\frac{\sigma}{\varepsilon}.
    Aqui:
    • \sigma é a tensão normal ao corte, definida por \sigma=\dfrac{F}{A}, onde F é a força axial e A é a área da seção transversal.
    • \varepsilon é a deformação axial relativa, definida por \varepsilon=\dfrac{\Delta L}{L_{0}}, onde \Delta L é o alongamento e L_{0} é o comprimento inicial.
  • Substituindo \sigma e \varepsilon na definição de E:
    E=\frac{F/A}{\Delta L / L_{0}}=\frac{F L_{0}}{A\,\Delta L}.
    Dessa expressão, isolamos L_{0} (é o que queremos):
    L_{0}=\frac{\Delta L \, A \, E}{F}.
    Explicação: a fórmula mostra que, para uma força dada, quanto maior a área e o módulo E, maior pode ser o comprimento para um mesmo \Delta L admissível.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal A (seção circular).
  • Fórmula da área de um círculo: A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
  • Substituindo d=0{,}0102\\ \mathrm{m}: A=\frac{\pi\,(0{,}0102)^{2}}{4}.
  • Cálculo passo a passo: (0{,}0102)^{2}=0{,}00010404,
A=\frac{\pi\cdot 0{,}00010404}{4} \approx 0{,}00010404\cdot 0{,}7853981634 \approx 8{,}1712825\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Substituir na fórmula de L_{0} e calcular numericamente.
  • Fórmula já obtida: L_{0}=\frac{\Delta L \, A \, E}{F}.
  • Substituindo \Delta L=0{,}00025\\ \mathrm{m}, A\approx 8{,}1712825\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}, E=207\times10^{9}\\ \mathrm{Pa} e F=8900\\ \mathrm{N}: L_{0}=\frac{0{,}00025\cdot\bigl(8{,}1712825\times10^{-5}\bigr)\cdot\bigl(207\times10^{9}\bigr)}{8900}.
  • Calcular em etapas: A\cdot E \approx 8{,}1712825\times10^{-5}\times207\times10^{9}\approx 1{,}6921448\times10^{7}.
\Delta L\cdot (A E) \approx 0{,}00025\times 1{,}6921448\times10^{7}\approx 4230{,}362.
L_{0}\approx \frac{4230{,}362}{8900}\approx 0{,}47529\\ \mathrm{m}.
  • Convertendo para unidades mais usuais: L_{0}\approx 0{,}475\\ \mathrm{m}=475\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Verificação rápida (checada em unidades imperiais com os valores fornecidos no enunciado em polegadas e psi, só para comparar):
  • Usando d=0{,}40\\ \mathrm{in}, E=30\times10^{6}\\ \mathrm{psi}, \Delta L=0{,}010\\ \mathrm{in}, F=2000\\ \mathrm{lbf}: A=\frac{\pi(0{,}40)^{2}}{4}\approx 0{,}12566\\ \mathrm{in^{2}},
L_{0}=\frac{0{,}010\cdot 0{,}12566\cdot 30\times10^{6}}{2000}\approx 18{,}85\\ \mathrm{in}\approx 478{,}7\\ \mathrm{mm}.
  • Comentário sobre a pequena diferença entre os dois resultados (475 mm vs 479 mm): ela vem das aproximações e arredondamentos nas versões imperial/numéricas fornecidas no enunciado (por exemplo, 207\\ \mathrm{GPa} corresponde a cerca de 30{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{psi} mas há pequenas diferenças de conversão). O resultado principal (usando o conjunto métrico) é \approx 0{,}475\\ \mathrm{m}.

Resposta

L_{0}\approx 0{,}475\\ \mathrm{m}=475\\ \mathrm{mm}
L_{0}\approx 18{,}85\\ \mathrm{in}\\ (\text{aprox. }478{,}7\\ \mathrm{mm})

Exercícios relacionados