Exercício 1: Sobre as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico:
a) pesquise e dê a fórmula matemática de definição de cada uma delas;
b) calcule as derivadas e integrais indefinidas de cada uma delas.

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, definidas em termos da exponencial, e em seguida calcular suas derivadas e integrais indefinidas. Para isso vamos usar propriedades básicas da função exponencial, da derivação e da integração.

Passo 2

As definições clássicas surgem da combinação de e^x e e^{-x}. Em particular:
\operatorname{sinh}(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2},
\operatorname{cosh}(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}.
Essas fórmulas vêm da solução de equações diferenciais e garantem que \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh} tenham propriedades análogas a \sin e \cos.

Passo 3

Para derivar usamos \frac{d}{dx}e^x=e^x e \frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}:
\frac{d}{dx}\operatorname{sinh}(x) = \frac{1}{2}\Bigl(e^x - (-e^{-x})\Bigr) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \operatorname{cosh}(x),
\frac{d}{dx}\operatorname{cosh}(x) = \frac{1}{2}\Bigl(e^x + (-e^{-x})\Bigr) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \operatorname{sinh}(x).

Passo 4

Para integrar note que queremos funções cuja derivada volte a ser \operatorname{sinh} ou \operatorname{cosh}:
\int \operatorname{sinh}(x)\,dx = \int \frac{e^x - e^{-x}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\bigl(e^x + e^{-x}\bigr) + C = \operatorname{cosh}(x) + C,
\int \operatorname{cosh}(x)\,dx = \int \frac{e^x + e^{-x}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\bigl(e^x - e^{-x}\bigr) + C = \operatorname{sinh}(x) + C.

Resposta

a) \displaystyle \operatorname{sinh}(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{2} \displaystyle \operatorname{cosh}(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{2}
b) \displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{sinh}(x)=\operatorname{cosh}(x) \displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{cosh}(x)=\operatorname{sinh}(x) \displaystyle \int\operatorname{sinh}(x)\,dx=\operatorname{cosh}(x)+C \displaystyle \int\operatorname{cosh}(x)\,dx=\operatorname{sinh}(x)+C

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