Exercício 2: Com base nas dicas dadas, mostre que
\int \operatorname{sec} x d x=\ln |\operatorname{sec} x+\operatorname{tg} x|+C, \quad C \in \mathbb{R}
Dica: Multiplique \operatorname{sec} x por \frac{\operatorname{sec} x+\operatorname{tg} x}{\operatorname{sec} x+\operatorname{tg} x} e observe que a derivada do denominador da fração resultante está no seu numerador.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \operatorname{sec} x \,dx
usando a dica de multiplicar a integranda por \frac{\operatorname{sec} x + \tan x}{\operatorname{sec} x + \tan x}.
O conteúdo é técnica de integração por substituição disfarçada, aproveitando que a derivada de \operatorname{sec} x + \tan x aparece no numerador após essa multiplicação.

Passo 2

Multiplicamos a integranda por \dfrac{\operatorname{sec} x + \tan x}{\operatorname{sec} x + \tan x}:
\int \operatorname{sec} x\,dx =\int \operatorname{sec} x\cdot\frac{\operatorname{sec} x + \tan x}{\operatorname{sec} x + \tan x}\,dx =\int \frac{\operatorname{sec} x(\operatorname{sec} x + \tan x)}{\operatorname{sec} x + \tan x}\,dx.
No numerador expandimos:
\operatorname{sec} x(\operatorname{sec} x + \tan x) =\operatorname{sec}^2 x + \operatorname{sec} x\,\tan x.
Logo
\int \operatorname{sec} x\,dx =\int \frac{\operatorname{sec}^2 x + \operatorname{sec} x\,\tan x}{\operatorname{sec} x + \tan x}\,dx.

Passo 3

Observamos que, ao definir
u = \operatorname{sec} x + \tan x,
temos
\frac{du}{dx} =\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)+\frac{d}{dx}(\tan x) =\operatorname{sec} x\,\tan x + \operatorname{sec}^2 x,
que coincide exatamente com o numerador \operatorname{sec}^2 x + \operatorname{sec} x\,\tan x. Portanto
\operatorname{sec}^2 x + \operatorname{sec} x\,\tan x \,dx = du.

Passo 4

Substituindo na integral:
\int \frac{\operatorname{sec}^2 x + \operatorname{sec} x\,\tan x}{\operatorname{sec} x + \tan x}\,dx =\int \frac{du}{u} =\ln\bigl|u\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável original x, com u = \operatorname{sec} x + \tan x:
\int \operatorname{sec} x\,dx =\ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| + C,
onde C\in\mathbb{R}.

Resposta

\ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| + C.

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