\int(\operatorname{cosec} x-1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(\csc x - 1\bigr)\,dx.
O conteúdo envolve integração de funções trigonométricas e a propriedade de linearidade da integral, além de uma técnica de substituição para integrar \csc x.

Passo 2

Usamos a linearidade da integral para separar termos:
\int\bigl(\csc x - 1\bigr)\,dx = \int \csc x\,dx \;-\;\int 1\,dx.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int \csc x\,dx, multiplicamos por \tfrac{\csc x+\cot x}{\csc x+\cot x} e usamos substituição.
\int \csc x\,dx = \int \frac{\csc x(\csc x+\cot x)}{\csc x+\cot x}\,dx = \int \frac{\csc^2 x + \csc x\,\cot x}{\csc x+\cot x}\,dx.
Fazendo u = \csc x + \cot x temos
du = -\bigl(\csc x\,\cot x + \csc^2 x\bigr)\,dx,
portanto
\int \csc x\,dx = \int \frac{-du}{u} = -\ln\bigl|u\bigr| + C = -\ln\bigl|\csc x + \cot x\bigr| + C.

Passo 4

Para \displaystyle \int 1\,dx, a antiderivada é imediata:
\int 1\,dx = x.

Passo 5

Reunindo os resultados e agrupando as constantes de integração em um só C, obtemos
\int\bigl(\csc x - 1\bigr)\,dx = -\ln\bigl|\csc x + \cot x\bigr| \;-\; x \;+\; C.

Resposta

-\ln\bigl|\csc x + \cot x\bigr| - x + C

Exercícios relacionados