Exercício 6. Mostre que para quaisquer dois cortes \alpha e \beta vale a propriedade comutativa de números reais:
\alpha+_{\mathbb{R}} \beta=\beta+_{\mathbb{R}} \alpha

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer dois cortes \alpha e \beta, vale a propriedade comutativa
\alpha+_{\mathbb{R}} \beta=\beta+_{\mathbb{R}} \alpha.
Informações dadas (o que temos do enunciado):
  • \alpha e \beta são cortes (Dedekind) de \mathbb{Q}.
  • A operação +_{\mathbb{R}} é a adição definida entre cortes (a definição precisa dessa soma deve ser usada na prova).
  • A tarefa é provar a igualdade entre os dois conjuntos que representam a soma dos cortes (ou seja, provar que os dois conjuntos são iguais).

Passo 2

Definição (essencial) — o que é a soma de dois cortes:
A soma \alpha+_{\mathbb{R}}\beta é o subconjunto de \mathbb{Q} definido por
\alpha+_{\mathbb{R}}\beta=\{\,q\in\mathbb{Q}\mid \exists r\in\alpha,\\ \exists s\in\beta\\ \text{tal que}\\ q<r+s\,\}.
Explicando passo a passo cada parte:
  • \mathbb{Q} é o conjunto dos racionais; toda entrada da soma é um racional q.
  • A condição "existe r\in\alpha e s\in\beta tal que q<r+s" significa que q é menor que algum somatório de um elemento de \alpha com um elemento de \beta.
  • Essa definição (usar q<r+s em vez de q=r+s) garante que o conjunto resultante seja novamente um corte (sem máximo, fechado para baixo etc.).
    Observação didática rápida: a razão prática para essa definição é que os cortes representam números reais e queremos que a soma também satisfaça as propriedades de um corte; por isso incluímos todos os racionais menores que r+s em vez de apenas os somas exatas.

Passo 3

Ideia da prova (plano, sem calcular nada ainda):
Para provar que dois conjuntos são iguais é padrão demonstrar as duas inclusões:
\alpha+_{\mathbb{R}}\beta \subseteq \beta+_{\mathbb{R}}\alpha \qquad\text{e}\qquad \beta+_{\mathbb{R}}\alpha \subseteq \alpha+_{\mathbb{R}}\beta.
A peça chave que vamos usar é a comutatividade da adição em \mathbb{Q}: para quaisquer r,s\in\mathbb{Q} vale r+s=s+r. A partir disso, ao trocar r com s dentro da condição q<r+s veremos que a condição que coloca q em \alpha+_{\mathbb{R}}\beta é exatamente a mesma que o coloca em \beta+_{\mathbb{R}}\alpha.

Passo 4

Prova da primeira inclusão \alpha+_{\mathbb{R}}\beta \subseteq \beta+_{\mathbb{R}}\alpha:
  • Tome um elemento qualquer q\in\alpha+_{\mathbb{R}}\beta.
  • Pela definição da soma de cortes, existe r\in\alpha e existe s\in\beta tais que q<r+s.
  • Como a soma em \mathbb{Q} é comutativa, r+s=s+r. Portanto q<s+r.
  • A desigualdade q<s+r com s\in\beta e r\in\alpha é exatamente a condição que garante q\in\beta+_{\mathbb{R}}\alpha, pela definição da soma.
  • Concluímos que qualquer q\in\alpha+_{\mathbb{R}}\beta também pertence a \beta+_{\mathbb{R}}\alpha. Logo \alpha+_{\mathbb{R}}\beta \subseteq \beta+_{\mathbb{R}}\alpha.

Passo 5

Prova da segunda inclusão \beta+_{\mathbb{R}}\alpha \subseteq \alpha+_{\mathbb{R}}\beta:
  • A demonstração é análoga (simétrica) à anterior.
  • Tome q\in\beta+_{\mathbb{R}}\alpha. Então existem s\in\beta e r\in\alpha tais que q<s+r.
  • Pela comutatividade em \mathbb{Q}, s+r=r+s, logo q<r+s.
  • Assim q satisfaz a condição para pertencer a \alpha+_{\mathbb{R}}\beta. Portanto \beta+_{\mathbb{R}}\alpha \subseteq \alpha+_{\mathbb{R}}\beta.

Passo 6

Conclusão e interpretação final:
  • Juntando as duas inclusões obtidas nos Passos 4 e 5, temos igualdade entre os conjuntos: \alpha+_{\mathbb{R}}\beta=\beta+_{\mathbb{R}}\alpha.
  • Intuitivamente: a soma de dois cortes é definida a partir de somas de racionais e, como a soma de racionais é comutativa, não faz diferença em que ordem se escolhe o elemento de \alpha e o de \beta; por isso a soma de cortes é comutativa também.
  • Dica prática para prova em prova: cite explicitamente a definição da soma de cortes e use a comutatividade r+s=s+r para transformar a condição q<r+s em q<s+r, isso resolve a inclusão de forma direta.

Resposta

\alpha+_{\mathbb{R}} \beta=\beta+_{\mathbb{R}} \alpha

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