Exercício 6. Mostre que para quaisquer dois cortes
e
vale a propriedade comutativa de números reais:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer dois cortes
e
, vale a propriedade comutativa
Informações dadas (o que temos do enunciado):
-
e são cortes (Dedekind) de . - A operação
é a adição definida entre cortes (a definição precisa dessa soma deve ser usada na prova). - A tarefa é provar a igualdade entre os dois conjuntos que representam a soma dos cortes (ou seja, provar que os dois conjuntos são iguais).
Passo 2
Definição (essencial) — o que é a soma de dois cortes:
A soma é o subconjunto de
definido por
A soma
Explicando passo a passo cada parte:
-
é o conjunto dos racionais; toda entrada da soma é um racional . - A condição "existe
e tal que " significa que é menor que algum somatório de um elemento de com um elemento de . - Essa definição (usar
em vez de ) garante que o conjunto resultante seja novamente um corte (sem máximo, fechado para baixo etc.).
Observação didática rápida: a razão prática para essa definição é que os cortes representam números reais e queremos que a soma também satisfaça as propriedades de um corte; por isso incluímos todos os racionais menores queem vez de apenas os somas exatas.
Passo 3
Ideia da prova (plano, sem calcular nada ainda):
Para provar que dois conjuntos são iguais é padrão demonstrar as duas inclusões:
Para provar que dois conjuntos são iguais é padrão demonstrar as duas inclusões:
A peça chave que vamos usar é a comutatividade da adição em
: para quaisquer
vale
. A partir disso, ao trocar
com
dentro da condição
veremos que a condição que coloca
em
é exatamente a mesma que o coloca em
.
Passo 4
Prova da primeira inclusão
:
- Tome um elemento qualquer
. - Pela definição da soma de cortes, existe
e existe tais que - Como a soma em
é comutativa, . Portanto - A desigualdade
com e é exatamente a condição que garante , pela definição da soma. - Concluímos que qualquer
também pertence a . Logo
Passo 5
Prova da segunda inclusão
:
- A demonstração é análoga (simétrica) à anterior.
- Tome
. Então existem e tais que - Pela comutatividade em
, , logo . - Assim
satisfaz a condição para pertencer a . Portanto
Passo 6
Conclusão e interpretação final:
- Juntando as duas inclusões obtidas nos Passos 4 e 5, temos igualdade entre os conjuntos:
- Intuitivamente: a soma de dois cortes é definida a partir de somas de racionais e, como a soma de racionais é comutativa, não faz diferença em que ordem se escolhe o elemento de
e o de ; por isso a soma de cortes é comutativa também. - Dica prática para prova em prova: cite explicitamente a definição da soma de cortes e use a comutatividade
para transformar a condição em , isso resolve a inclusão de forma direta.