Exercício 5. Mostre que para qualquer corte \alpha vale a seguinte igualdade de conjuntos:
\alpha+_{\mathbb{R}} 0^{*}=\alpha

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (lista explícita, sem resolver ainda):
  • É dado um corte \alpha (isto é, um subconjunto de \mathbb{Q} que é não vazio, próprio, fechado para baixo e sem maior elemento).
  • É dado o corte que representa o zero, que denotamos por 0^{*}. Vamos tomar a definição habitual: 0^{*}=\{q\in\mathbb{Q}\mid q<0\}.
  • O enunciado pede para mostrar a igualdade de conjuntos \alpha+_{\mathbb{R}} 0^{*}=\alpha,onde +_{\mathbb{R}} é a soma de cortes (a soma que dá a estrutura aditiva dos números reais construídos por cortes).

Passo 2

Definição precisa da soma de cortes e propriedades que vou usar (aulas rápidas e intuitivas).
  • Definição da soma de dois cortes \alpha e \beta: por definição padrão toma-se \alpha+_{\mathbb{R}}\beta=\{r\in\mathbb{Q}\mid \exists a\in\alpha,\\ \exists b\in\beta\\ \text{com}\\ r<a+b\}.Explicando: um racional r pertence à soma se existe uma soma a+b (com a em \alpha e b em \beta) estritamente maior que r. Essa forma garante que o resultado seja de fato um corte (fechado para baixo e sem maior elemento).
  • Propriedades dos cortes que vamos usar explicitamente:
    1. \alpha é fechado para baixo: se x\in\alpha e y<x então y\in\alpha.
    2. \alpha não tem maior elemento: para todo x\in\alpha existe x'\in\alpha com x<x'.
    3. 0^{*}=\{q\in\mathbb{Q}\mid q<0\} consiste exatamente dos racionais negativos.
  • Ferramenta aritmética sobre racionais: entre dois racionais distintos existe outro racional (densidade de \mathbb{Q}). Vou usá-la para produzir um racional num intervalo aberto quando precisar.

Passo 3

Provar a inclusão \alpha\subseteq \alpha+_{\mathbb{R}}0^{*}.
  • Seja r\in\alpha. Queremos mostrar r\in \alpha+_{\mathbb{R}}0^{*}, ou seja, que existe a\in\alpha e b\in 0^{*} com r<a+b.
  • Como \alpha não tem maior elemento, existe a\in\alpha tal que a>r. (Isto usa diretamente a propriedade “sem maior elemento”.)
  • Observe que r-a<0 porque a>r. Então r-a é um racional estritamente negativo.
  • Pela densidade de \mathbb{Q}, entre r-a e 0 existe um racional b tal que r-a < b < 0.Portanto b\in 0^{*}.
  • Com esse a e b temos a+b> a+(r-a)=r,ou seja r < a+b. Pelas regras da definição da soma de cortes, isso implica r\in \alpha+_{\mathbb{R}}0^{*}.
  • Conclusão deste passo: todo r\in\alpha pertence a \alpha+_{\mathbb{R}}0^{*}. Assim \alpha\subseteq \alpha+_{\mathbb{R}}0^{*}.

Passo 4

Provar a inclusão \alpha+_{\mathbb{R}}0^{*}\subseteq \alpha.
  • Seja q\in \alpha+_{\mathbb{R}}0^{*}. Pela definição da soma de cortes, existem a\in\alpha e b\in 0^{*} tais que q < a+b.
  • Como b\in 0^{*} temos b<0. Então a+b < a.
  • A partir de q < a+b e a+b < a obtemos q < a.
  • Como \alpha é fechado para baixo e a\in\alpha, qualquer racional estritamente menor que a também pertence a \alpha. Em particular, q\in\alpha.
  • Portanto todo elemento de \alpha+_{\mathbb{R}}0^{*} está em \alpha, ou seja \alpha+_{\mathbb{R}}0^{*}\subseteq \alpha.

Passo 5

Conclusão final juntando as duas inclusões e interpretação didática rápida.
  • Dos Passos 3 e 4 temos as duas inclusões mútuas \alpha\subseteq \alpha+_{\mathbb{R}}0^{*}\quad\text{e}\quad \alpha+_{\mathbb{R}}0^{*}\subseteq \alpha,logo os conjuntos são iguais.
  • Intuição curta: somar o corte que representa zero não altera o corte \alpha porque podemos ajustar a soma com um elemento negativo pequeno de 0^{*} e usar que \alpha não tem maior elemento; e qualquer soma com um número negativo fica abaixo de algum elemento de \alpha, garantindo que nada novo apareça fora de \alpha.

Resposta

\alpha+_{\mathbb{R}} 0^{*}=\alpha

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