Exercício 5. Mostre que para qualquer corte
vale a seguinte igualdade de conjuntos:
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (lista explícita, sem resolver ainda):
- É dado um corte
(isto é, um subconjunto de que é não vazio, próprio, fechado para baixo e sem maior elemento). - É dado o corte que representa o zero, que denotamos por
. Vamos tomar a definição habitual: - O enunciado pede para mostrar a igualdade de conjuntos
onde é a soma de cortes (a soma que dá a estrutura aditiva dos números reais construídos por cortes).
Passo 2
Definição precisa da soma de cortes e propriedades que vou usar (aulas rápidas e intuitivas).
- Definição da soma de dois cortes
e : por definição padrão toma-se Explicando: um racional pertence à soma se existe uma soma (com em e em ) estritamente maior que . Essa forma garante que o resultado seja de fato um corte (fechado para baixo e sem maior elemento). - Propriedades dos cortes que vamos usar explicitamente:
-
é fechado para baixo: se e então . -
não tem maior elemento: para todo existe com . -
consiste exatamente dos racionais negativos.
-
- Ferramenta aritmética sobre racionais: entre dois racionais distintos existe outro racional (densidade de
). Vou usá-la para produzir um racional num intervalo aberto quando precisar.
Passo 3
Provar a inclusão
.
- Seja
. Queremos mostrar , ou seja, que existe e com . - Como
não tem maior elemento, existe tal que . (Isto usa diretamente a propriedade “sem maior elemento”.) - Observe que
porque . Então é um racional estritamente negativo. - Pela densidade de
, entre e existe um racional tal que Portanto . - Com esse
e temos ou seja . Pelas regras da definição da soma de cortes, isso implica . - Conclusão deste passo: todo
pertence a . Assim
Passo 4
Provar a inclusão
.
- Seja
. Pela definição da soma de cortes, existem e tais que - Como
temos . Então . - A partir de
e obtemos . - Como
é fechado para baixo e , qualquer racional estritamente menor que também pertence a . Em particular, . - Portanto todo elemento de
está em , ou seja
Passo 5
Conclusão final juntando as duas inclusões e interpretação didática rápida.
- Dos Passos 3 e 4 temos as duas inclusões mútuas
logo os conjuntos são iguais. - Intuição curta: somar o corte que representa zero não altera o corte
porque podemos ajustar a soma com um elemento negativo pequeno de e usar que não tem maior elemento; e qualquer soma com um número negativo fica abaixo de algum elemento de , garantindo que nada novo apareça fora de .