O que o problema pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial dada e as três condições iniciais.
Passo 2
Ideia de solução (explicação didática do método que será aplicado).
Para resolver uma equação linear homogênea com coeficientes constantes e derivadas de ordem inteira, uma técnica eficiente é procurar soluções da forma y(x)=e^{rx}, onde r é um número a determinar. Essa suposição transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r chamada equação característica.
Substituindo y=e^{rx} e suas derivadas na equação obtemos um polinômio em r; as raízes desse polinômio determinam as soluções exponenciais. Se as raízes são distintas e reais r_1,r_2,r_3, a solução geral é
y(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}+C_3 e^{r_3 x},
onde C_1,C_2,C_3 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
(Esta é a ideia geral; agora aplico passo a passo ao polinômio específico.)
Passo 3
Formar e resolver a equação característica.
Supondo y=e^{rx} e substituindo, obtemos a equação característica
r^{3}-9r^{2}-25r+225=0.
Procuramos raízes racionais possíveis (divisores de 225). Testando r=5:
5^{3}-9\cdot5^{2}-25\cdot5+225=125-225-125+225=0,
portanto r=5 é raiz.
Dividindo o polinômio por (r-5) (divisão sintética ou polinomial) obtemos o quociente
r^{2}-4r-45.
Resolver a equação quadrática
r^{2}-4r-45=0.
Calcule o discriminante: \Delta =(-4)^{2}-4\cdot1\cdot(-45)=16+180=196. Assim \sqrt{\Delta}=14.
As raízes são
r=\frac{4\pm14}{2},
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r=9\quad\text{ou}\quad r=-5.
Conclusão: as três raízes distintas do polinômio são r_1=5,\;r_2=9,\;r_3=-5.
Passo 4
Escrever a solução geral usando as raízes encontradas.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(x)=C_1 e^{5x}+C_2 e^{9x}+C_3 e^{-5x},
onde C_1,C_2,C_3 são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Calcular as derivadas necessárias e aplicar as condições iniciais.
Derivando:
y'(x)=5C_1 e^{5x}+9C_2 e^{9x}-5C_3 e^{-5x},
y''(x)=25C_1 e^{5x}+81C_2 e^{9x}+25C_3 e^{-5x}.
Avaliando em x=0 (observe e^{0}=1):
y(0)=C_1+C_2+C_3,
y'(0)=5C_1+9C_2-5C_3,
y''(0)=25C_1+81C_2+25C_3.
Usando as condições iniciais obtém-se o sistema linear