EXERCÍCIO 3

\boldsymbol{y}^{\prime \prime \prime}-9 \boldsymbol{y}^{\prime \prime}-25 \boldsymbol{y}^{\prime}+225 \boldsymbol{y}=0
\operatorname{com} y(0)=0, y^{\prime}(0)=-50, y^{\prime \prime}(0)=-280

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e as condições iniciais:
\text{Equação: }\;y^{\prime\prime\prime}-9y^{\prime\prime}-25y^{\prime}+225y=0çã
\text{Condições iniciais: }\;y(0)=0,\quad y^{\prime}(0)=-50,\quad y^{\prime\prime}(0)=-280.çõ
O que o problema pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial dada e as três condições iniciais.

Passo 2

Ideia de solução (explicação didática do método que será aplicado).
  • Para resolver uma equação linear homogênea com coeficientes constantes e derivadas de ordem inteira, uma técnica eficiente é procurar soluções da forma y(x)=e^{rx}, onde r é um número a determinar. Essa suposição transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r chamada equação característica.
  • Substituindo y=e^{rx} e suas derivadas na equação obtemos um polinômio em r; as raízes desse polinômio determinam as soluções exponenciais. Se as raízes são distintas e reais r_1,r_2,r_3, a solução geral é
y(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}+C_3 e^{r_3 x},
onde C_1,C_2,C_3 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
(Esta é a ideia geral; agora aplico passo a passo ao polinômio específico.)

Passo 3

Formar e resolver a equação característica.
  • Supondo y=e^{rx} e substituindo, obtemos a equação característica
r^{3}-9r^{2}-25r+225=0.
  • Procuramos raízes racionais possíveis (divisores de 225). Testando r=5:
5^{3}-9\cdot5^{2}-25\cdot5+225=125-225-125+225=0,
portanto r=5 é raiz.
  • Dividindo o polinômio por (r-5) (divisão sintética ou polinomial) obtemos o quociente
r^{2}-4r-45.
  • Resolver a equação quadrática
r^{2}-4r-45=0.
Calcule o discriminante: \Delta =(-4)^{2}-4\cdot1\cdot(-45)=16+180=196. Assim \sqrt{\Delta}=14.
As raízes são
r=\frac{4\pm14}{2},
logo
r=9\quad\text{ou}\quad r=-5.
  • Conclusão: as três raízes distintas do polinômio são r_1=5,\;r_2=9,\;r_3=-5.

Passo 4

Escrever a solução geral usando as raízes encontradas.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(x)=C_1 e^{5x}+C_2 e^{9x}+C_3 e^{-5x},
onde C_1,C_2,C_3 são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Calcular as derivadas necessárias e aplicar as condições iniciais.
  • Derivando:
y'(x)=5C_1 e^{5x}+9C_2 e^{9x}-5C_3 e^{-5x},
y''(x)=25C_1 e^{5x}+81C_2 e^{9x}+25C_3 e^{-5x}.
  • Avaliando em x=0 (observe e^{0}=1):
y(0)=C_1+C_2+C_3,
y'(0)=5C_1+9C_2-5C_3,
y''(0)=25C_1+81C_2+25C_3.
  • Usando as condições iniciais obtém-se o sistema linear
\begin{cases} C_1+C_2+C_3=0,\\[4pt] 5C_1+9C_2-5C_3=-50,\\[4pt] 25C_1+81C_2+25C_3=-280. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema linear (eliminação por substituição).
  • Da primeira equação temos
C_1=-C_2-C_3.
  • Substituindo em 5C_1+9C_2-5C_3=-50:
5(-C_2-C_3)+9C_2-5C_3=-50.
Desenvolvendo:
-5C_2-5C_3+9C_2-5C_3=-50 \;\Rightarrow\; 4C_2-10C_3=-50.
Dividindo por 2:
2C_2-5C_3=-25. \tag{1}
  • Substituindo C_1=-C_2-C_3 em 25C_1+81C_2+25C_3=-280:
25(-C_2-C_3)+81C_2+25C_3=-280.
Desenvolvendo:
-25C_2-25C_3+81C_2+25C_3=-280 \;\Rightarrow\; 56C_2=-280.
Logo
C_2=-5.
  • Substituir C_2=-5 em (1):
2(-5)-5C_3=-25 \;\Rightarrow\; -10-5C_3=-25 \;\Rightarrow\; -5C_3=-15,
portanto
C_3=3.
  • Finalmente C_1=-C_2-C_3=-(-5)-3=5-3=2.

Passo 7

Escrever a solução particular que satisfaz as condições iniciais e verificar rapidamente.
  • Os coeficientes encontrados são C_1=2,\;C_2=-5,\;C_3=3.
  • Assim a solução procurada é
y(x)=2e^{5x}-5e^{9x}+3e^{-5x}.
  • (Verificação rápida: y(0)=2-5+3=0; y'(0)=10-45-15=-50; y''(0)=50-405+75=-280. Tudo confere.)

Resposta

y(x)=2e^{5x}-5e^{9x}+3e^{-5x}

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