Resolva as equações diferenciais separáveis e os PVI.
y^{\prime}=\frac{x^{2} y-y}{y+1} ; y(3)=-1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e um PVI:
  • Equação: y'= \dfrac{x^{2}y - y}{y+1}.
  • Condição inicial (PVI): y(3)=-1.
O que é pedido:
  • Resolver a equação diferencial (achar a solução geral).
  • Tratar o problema do valor inicial y(3)=-1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão da direita pode ser simplificada por fatoração em y.
  • A equação apresenta pontos singulares quando y=0 (possível divisão por zero ao separar) e quando y=-1 (denominador da RHS igual a zero), portanto há que ter cuidado com constantes soluções e com domínios onde a EDO está definida.

Passo 2

Manipulação algébrica e separação de variáveis.
Começo simplificando a RHS por fator comum y:
\frac{x^{2}y-y}{y+1}=\frac{y(x^{2}-1)}{y+1}.
Logo a EDO fica
y'=\frac{y(x^{2}-1)}{y+1}.
Para separar as variáveis, escrevo y'=\dfrac{dy}{dx} e passo os fatores de y para o lado de dy:
\frac{y+1}{y}\,dy=(x^{2}-1)\,dx.
Aqui devo fazer duas observações importantes (domainas e casos especiais):
  • Ao dividir por y estou implicitamente supondo y\neq0. Portanto devo checar se y\equiv0 é uma solução constante à parte.
  • A EDO original tem denominador y+1; quando y=-1 a RHS original não está definida, então y\equiv-1 não pode ser tomada como solução válida diretamente.
Verificação de soluções constantes:
  • Testo y\equiv0: substituir na EDO dá y'=0 e RHS =0, logo y\equiv0 é solução constante válida.
  • Testo y\equiv-1: RHS não está definida (divisão por zero), então y\equiv-1 NÃO é solução.

Passo 3

Integração e obtenção da solução geral.
Integro ambos os lados da igualdade separada:
\int\frac{y+1}{y}\,dy=\int(x^{2}-1)\,dx.
No lado esquerdo escrevo \dfrac{y+1}{y}=1+\dfrac{1}{y} e integro termo a termo:
\int\left(1+\frac{1}{y}\right)dy=\int 1\,dy+\int\frac{1}{y}\,dy = y+\ln|y|.
No lado direito:
\int(x^{2}-1)\,dx=\frac{x^{3}}{3}-x + C,
onde C é constante de integração.
Portanto a solução implícita geral (para y\neq0 e y\neq-1 onde a EDO é originalmente definida) é
y+\ln|y|=\frac{x^{3}}{3}-x + C.
Além desta família implícita, lembramos da solução constante y\equiv0.

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(3)=-1.
Primeiro observo que a EDO original não está definida em pontos onde y=-1. Ainda assim, verifico o que a solução implícita nos dá ao exigir que o par (x,y)=(3,-1) pertença à curva implícita.
Avalio o lado esquerdo em y=-1:
y+\ln|y| \Big|_{y=-1} = -1 + \ln|{-1}| = -1 + \ln 1 = -1 + 0 = -1.
Avalio o lado direito em x=3:
\frac{x^{3}}{3}-x + C \Big|_{x=3} = \frac{27}{3}-3 + C = 9-3 + C = 6 + C.
Igualando para que o ponto pertença à curva:
-1 = 6 + C \quad\Rightarrow\quad C=-7.
Logo a curva implícita com constante C=-7 é
y+\ln|y|=\frac{x^{3}}{3}-x -7.

Passo 5

Interpretação do PVI e questões de existência/unicidade.
É crucial notar que a EDO original tem denominador y+1; portanto a função f(x,y)=\dfrac{x^{2}y-y}{y+1} não está definida quando y=-1. O Teorema de existência e unicidade requer que f e \partial f/\partial y sejam contínuas numa vizinhança do ponto inicial; isto não ocorre aqui. Assim não se pode garantir existência nem unicidade clássica de uma solução que seja diferenciável em torno de x=3.
Examinando a curva implícita encontrada com C=-7, vemos que ela passa pelo ponto (3,-1). Contudo, derivando implicitamente para verificar a derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(y+\ln|y|\bigr)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{3}}{3}-x-7\right)
\Rightarrow\quad \left(1+\frac{1}{y}\right)y' = x^{2}-1.
Isolando y':
y'=\frac{x^{2}-1}{1+\dfrac{1}{y}}=\frac{y(x^{2}-1)}{y+1},
que é exatamente a RHS original. No entanto, no ponto (3,-1) o denominador 1+\dfrac{1}{y}=1+\dfrac{1}{-1}=0 enquanto o numerador x^{2}-1 em x=3 vale 8. Portanto a derivada formal fica com denominador zero e é singular (tende a infinito): geometricalmente a curva implícita tem tangente vertical aí. Como consequência, não existe uma função y(x) diferenciável em um intervalo contendo x=3 que satisfaça a EDO naquele ponto. Em termos do PVI clássico (solução diferenciável definida numa vizinhança do ponto inicial), NÃO existe solução do PVI y(3)=-1.
Em resumo:
  • A família implícita y+\ln|y|=\dfrac{x^{3}}{3}-x + C (com C arbitrária) descreve as soluções integrais onde y\neq0 e y\neq-1.
  • A solução constante y\equiv0 também existe.
  • O ponto (3,-1) pertence à curva implícita com C=-7, mas a EDO não é satisfeita de forma regular nesse ponto (derivada singular). Logo não há solução do PVI no sentido clássico (função diferenciável num intervalo contendo x=3).

Resposta

Solução geral (implícita): y+\ln|y|=\dfrac{x^{3}}{3}-x + C.
Solução constante: y\equiv0.
PVI y(3)=-1: não existe solução do PVI no sentido clássico (a curva implícita com C=-7 passa por (3,-1) mas a EDO não está definida em y=-1 e a derivada é singular nesse ponto, portanto não há solução diferenciável que satisfaça a EDO numa vizinhança de x=3).

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