EXERCÍCIO 9

Proponha e resolva um exemplo de uma EDO de 4{ }^{\text {a }} ordem, de coeficientes constantes e homogênea, aplicado a um problema de Engenharia

Passo 1

O que o enunciado pede: propor e resolver um exemplo de uma EDO de 4ª ordem, com coeficientes constantes e homogênea, aplicada a um problema de Engenharia.
O que eu proponho (informações dadas pelo meu modelo): considerar a equação que descreve a deflexão vertical y(x) de uma viga de Euler–Bernoulli apoiada sobre um leito elástico (modelo de Winkler), sem carregamento concentrado:
EI\,y^{(4)}(x) + k\,y(x) = 0,
onde:
  • E é o módulo de elasticidade (constante positiva),
  • I é o momento de inércia da seção (constante positiva),
  • k é a rigidez do leito elástico (constante, tomada positiva),
  • y(x) é a deflexão em função da posição x.
O objetivo concreto aqui: resolver essa EDO homogênea de coeficientes constantes e obter a solução geral y(x). Em seguida vou exemplificar com valores numéricos simples para ver a solução explícita.

Passo 2

Método que vamos usar (explicadinho): para EDO lineares homogêneas com coeficientes constantes a técnica padrão é tentar soluções da forma y(x)=e^{r x}. Por que isso funciona? Porque derivadas de e^{r x} geram fatores r multiplicativos:
\frac{d^n}{dx^n}e^{r x}=r^n e^{r x}.
Substituindo y=e^{r x} na EDO transforma a equação diferencial numa equação algébrica chamada equação característica. Essa é a forma canônica de resolver esse tipo de EDO — é a ferramenta padrão em provas e em engenharia.
Aplicando y=e^{r x} em
EI\,y^{(4)} + k\,y = 0
obtemos a equação característica
EI\,r^{4} + k = 0.

Passo 3

Resolver a equação característica. Reescrevo:
r^{4} = -\frac{k}{EI}.
Defino
a \coloneqq \left(\frac{k}{EI}\right)^{1/4},
assim
r^{4} = -a^{4}.
As quatro raízes complexas de r^{4}=-a^{4} são obtidas escrevendo -1 = e^{i\pi} e usando as quatro raízes quartas da unidade:
r = a\,e^{i\left(\frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}\right)},\qquad n=0,1,2,3.
Essas raízes podem ser escritas em forma mais palpável como combinações de partes real e imaginária iguais em módulo. Definindo
\alpha \coloneqq \frac{a}{\sqrt{2}},
as quatro raízes são
r \in \{\;\alpha(1+i),\; \alpha(-1+i),\; \alpha(-1-i),\; \alpha(1-i)\;\}.
Ou seja, as raízes vêm em pares complexos conjugados com parte real \pm\alpha e parte imaginária \pm\alpha.

Passo 4

Construir a solução real geral a partir das raízes complexas. Quando a equação característica tem raízes complexas p\pm iq relaciona-se com termos da solução real da forma e^{p x}\cos(qx) e e^{p x}\sin(qx). No nosso caso cada par \pm\alpha \pm i\alpha gera um par de termos reais.
Portanto a solução geral real da EDO é
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\alpha x)+C_{2}\sin(\alpha x)\big) +e^{-\alpha x}\big(C_{3}\cos(\alpha x)+C_{4}\sin(\alpha x)\big),
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias determinadas pelas condições de contorno ou iniciais. Aqui \alpha=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{k}{EI}\right)^{1/4}.
Comentário físico curto e útil: essa solução combina modos oscilatórios ( \cos,\sin) com amortecimento/explosão exponencial ( e^{\pm\alpha x}). Para uma viga finita e condições físicas apropriadas (por exemplo viga apoiada ou engastada), a combinação e as constantes são escolhidas de modo que a solução seja física (por ex., não explodir em infinito) e satisfaça as condições nas extremidades.

Passo 5

Exemplo numérico concreto (para treinar na prova): escolha EI=1 (unidades escolhidas) e k=16. Então
a=\left(\frac{k}{EI}\right)^{1/4}=(16)^{1/4}=2, \qquad \alpha=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.
Substituindo em y(x) obtemos a solução explícita
y(x)=e^{\sqrt{2}\,x}\big(C_{1}\cos(\sqrt{2}\,x)+C_{2}\sin(\sqrt{2}\,x)\big) +e^{-\sqrt{2}\,x}\big(C_{3}\cos(\sqrt{2}\,x)+C_{4}\sin(\sqrt{2}\,x)\big).
Isto é pronto para aplicar condições de contorno: por exemplo, se a viga for finita e engastada em x=0 e x=L (condições clássicas y(0)=0,\;y'(0)=0,\;y(L)=0,\;y'(L)=0), essas quatro equações formam um sistema linear homogêneo em C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}. Para existir solução não trivial o determinante desse sistema deve ser zero — isso conduz a uma equação característica (transcendental) que define os comprimentos L admissíveis (modos de encurvadura/buckling). Se só for admitida a solução trivial C_i=0, então não há deflexão sem carga (caso típico se L não satisfizer a equação de compatibilidade).

Passo 6

Breve recapitulação das ferramentas usadas (para a prova): 1) tentar y=e^{r x}; 2) formar equação característica polinomial em r; 3) encontrar as quatro raízes (podem ser complexas); 4) converter raízes complexas em funções reais combinando exponenciais e senos/cossenos; 5) aplicar condições de contorno para achar constantes. Essas etapas são mecânicas e repetíveis — pratica umas duas vezes com exemplos diferentes (por exemplo EI\,y^{(4)}-2EI\,y''+EI\,y=0 ou y^{(4)}+\lambda^{4}y=0) ajuda bastante.

Resposta

y(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\alpha x)+C_{2}\sin(\alpha x)\big) +e^{-\alpha x}\big(C_{3}\cos(\alpha x)+C_{4}\sin(\alpha x)\big), \qquad \alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{k}{EI}\right)^{1/4}.
Para o exemplo numérico EI=1,\\ k=16:
y(x)=e^{\sqrt{2}\,x}\big(C_{1}\cos(\sqrt{2}\,x)+C_{2}\sin(\sqrt{2}\,x)\big) +e^{-\sqrt{2}\,x}\big(C_{3}\cos(\sqrt{2}\,x)+C_{4}\sin(\sqrt{2}\,x)\big).

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