EXERCÍCIO 9
Proponha e resolva um exemplo de uma EDO de
ordem, de coeficientes constantes e homogênea, aplicado a um problema de Engenharia
Passo 1
O que o enunciado pede: propor e resolver um exemplo de uma EDO de 4ª ordem, com coeficientes constantes e homogênea, aplicada a um problema de Engenharia.
O que eu proponho (informações dadas pelo meu modelo): considerar a equação que descreve a deflexão vertical
de uma viga de Euler–Bernoulli apoiada sobre um leito elástico (modelo de Winkler), sem carregamento concentrado:
onde:
-
é o módulo de elasticidade (constante positiva), -
é o momento de inércia da seção (constante positiva), -
é a rigidez do leito elástico (constante, tomada positiva), -
é a deflexão em função da posição .
O objetivo concreto aqui: resolver essa EDO homogênea de coeficientes constantes e obter a solução geral
. Em seguida vou exemplificar com valores numéricos simples para ver a solução explícita.
Passo 2
Método que vamos usar (explicadinho): para EDO lineares homogêneas com coeficientes constantes a técnica padrão é tentar soluções da forma
. Por que isso funciona? Porque derivadas de
geram fatores
multiplicativos:
Substituindo
na EDO transforma a equação diferencial numa equação algébrica chamada equação característica. Essa é a forma canônica de resolver esse tipo de EDO — é a ferramenta padrão em provas e em engenharia.
Aplicando
em
obtemos a equação característica
Passo 3
Resolver a equação característica. Reescrevo:
Defino
assim
As quatro raízes complexas de
são obtidas escrevendo
e usando as quatro raízes quartas da unidade:
Essas raízes podem ser escritas em forma mais palpável como combinações de partes real e imaginária iguais em módulo. Definindo
as quatro raízes são
Ou seja, as raízes vêm em pares complexos conjugados com parte real
e parte imaginária
.
Passo 4
Construir a solução real geral a partir das raízes complexas. Quando a equação característica tem raízes complexas
relaciona-se com termos da solução real da forma
e
. No nosso caso cada par
gera um par de termos reais.
Portanto a solução geral real da EDO é
onde
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições de contorno ou iniciais. Aqui
.
Comentário físico curto e útil: essa solução combina modos oscilatórios (
) com amortecimento/explosão exponencial (
). Para uma viga finita e condições físicas apropriadas (por exemplo viga apoiada ou engastada), a combinação e as constantes são escolhidas de modo que a solução seja física (por ex., não explodir em infinito) e satisfaça as condições nas extremidades.
Passo 5
Exemplo numérico concreto (para treinar na prova): escolha
(unidades escolhidas) e
. Então
Substituindo em
obtemos a solução explícita
Isto é pronto para aplicar condições de contorno: por exemplo, se a viga for finita e engastada em
e
(condições clássicas
), essas quatro equações formam um sistema linear homogêneo em
. Para existir solução não trivial o determinante desse sistema deve ser zero — isso conduz a uma equação característica (transcendental) que define os comprimentos
admissíveis (modos de encurvadura/buckling). Se só for admitida a solução trivial
, então não há deflexão sem carga (caso típico se
não satisfizer a equação de compatibilidade).
Passo 6
Breve recapitulação das ferramentas usadas (para a prova): 1) tentar
; 2) formar equação característica polinomial em
; 3) encontrar as quatro raízes (podem ser complexas); 4) converter raízes complexas em funções reais combinando exponenciais e senos/cossenos; 5) aplicar condições de contorno para achar constantes. Essas etapas são mecânicas e repetíveis — pratica umas duas vezes com exemplos diferentes (por exemplo
ou
) ajuda bastante.
Resposta
Para o exemplo numérico
: