Resolva as equações diferenciais separáveis e os PVI.
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e uma condição inicial. Os dados são:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
O que se pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Interpretando a equação: ela está escrita em forma diferencial. Podemos tratá-la como uma equação separável, isto é, reorganizar os termos de modo que todas as quantidades com
fiquem de um lado e todas as quantidades com
fiquem do outro. Para isso, vamos ver a equação como uma relação entre diferenciais e isolá-las:
Subtraindo
de ambos os lados,
Agora os termos estão separados: a esquerda depende só de
, a direita só de
.
Passo 3
Integrar ambos os lados. Explico cada integral:
- A integral de
em é o logaritmo natural: . Aqui o valor absoluto aparece porque o logaritmo natural só é definido para argumentos positivos; manteremos até usar a condição inicial. - A integral de
em é a soma das integrais de e :
Portanto, integrando ambos os lados obtemos
onde
é uma constante arbitrária de integração.
Passo 4
Resolver para
isolando o logaritmo: exponenciando ambos os lados,
Definindo
(uma constante positiva), obtemos
Como estamos procurando a solução com a condição inicial
, a função
é positiva naquele ponto e, por continuidade da solução, escolhemos o sinal positivo (podemos remover o valor absoluto). Assim
Passo 5
Determinar
usando a condição inicial
. Substituindo
em
:
Então
Isolando
,
Passo 6
Substituindo
na expressão geral da solução obtemos a solução particular do PVI:
Podemos juntar os expoentes para uma forma mais compacta:
Ou ainda
Passo 7
Verificação rápida (checar que faz sentido): se derivarmos
e substituirmos em
, a identidade será satisfeita (essa verificação é direta aplicando a regra da cadeia à expressão exponencial). A condição inicial também é satisfeita por construção:
.