Resolva as equações diferenciais separáveis e os PVI.
\left(x^{2}+1\right) d x+y^{-1} d y=0 ; y(-1)=1.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e uma condição inicial. Os dados são:
  • Equação diferencial: \left(x^{2}+1\right)\,dx + y^{-1}\,dy = 0.
  • Condição inicial: y(-1)=1.
O que se pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Interpretando a equação: ela está escrita em forma diferencial. Podemos tratá-la como uma equação separável, isto é, reorganizar os termos de modo que todas as quantidades com y fiquem de um lado e todas as quantidades com x fiquem do outro. Para isso, vamos ver a equação como uma relação entre diferenciais e isolá-las:
\left(x^{2}+1\right)\,dx + y^{-1}\,dy = 0
Subtraindo \left(x^{2}+1\right)\,dx de ambos os lados,
y^{-1}\,dy = -\left(x^{2}+1\right)\,dx.
Agora os termos estão separados: a esquerda depende só de y, a direita só de x.

Passo 3

Integrar ambos os lados. Explico cada integral:
  • A integral de y^{-1} em y é o logaritmo natural: \displaystyle \int y^{-1}\,dy = \ln|y| + C. Aqui o valor absoluto aparece porque o logaritmo natural só é definido para argumentos positivos; manteremos \ln|y| até usar a condição inicial.
  • A integral de -\left(x^{2}+1\right) em x é a soma das integrais de -x^{2} e -1:
\int -\left(x^{2}+1\right)\,dx = -\int x^{2}\,dx - \int 1\,dx = -\left(\frac{x^{3}}{3} + x\right) + C.
Portanto, integrando ambos os lados obtemos
\ln|y| = -\left(\frac{x^{3}}{3} + x\right) + C,
onde C é uma constante arbitrária de integração.

Passo 4

Resolver para y isolando o logaritmo: exponenciando ambos os lados,
|y| = e^{C}\cdot \exp\!\left(-\left(\frac{x^{3}}{3}+x\right)\right).
Definindo C_{1}=e^{C}>0 (uma constante positiva), obtemos
|y| = C_{1}\exp\!\left(-\left(\frac{x^{3}}{3}+x\right)\right).
Como estamos procurando a solução com a condição inicial y(-1)=1>0, a função y é positiva naquele ponto e, por continuidade da solução, escolhemos o sinal positivo (podemos remover o valor absoluto). Assim
y(x) = C_{1}\exp\!\left(-\left(\frac{x^{3}}{3}+x\right)\right).

Passo 5

Determinar C_{1} usando a condição inicial y(-1)=1. Substituindo x=-1 em \dfrac{x^{3}}{3}+x:
\frac{(-1)^{3}}{3}+(-1) = -\frac{1}{3}-1 = -\frac{4}{3}.
Então
y(-1)=1 = C_{1}\exp\!\left(-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)=C_{1}\exp\!\left(\frac{4}{3}\right).
Isolando C_{1},
C_{1} = \exp\!\left(-\frac{4}{3}\right).

Passo 6

Substituindo C_{1} na expressão geral da solução obtemos a solução particular do PVI:
y(x) = \exp\!\left(-\frac{4}{3}\right)\exp\!\left(-\left(\frac{x^{3}}{3}+x\right)\right).
Podemos juntar os expoentes para uma forma mais compacta:
y(x) = \exp\!\left(-\left(\frac{x^{3}}{3}+x+\frac{4}{3}\right)\right).
Ou ainda
y(x) = \exp\!\left(-\frac{x^{3}+3x+4}{3}\right).

Passo 7

Verificação rápida (checar que faz sentido): se derivarmos y(x) e substituirmos em y^{-1}dy + (x^{2}+1)\,dx=0, a identidade será satisfeita (essa verificação é direta aplicando a regra da cadeia à expressão exponencial). A condição inicial também é satisfeita por construção: y(-1)=1.

Resposta

y(x)=\exp\!\left(-\frac{x^{3}+3x+4}{3}\right)

Exercícios relacionados