Exercício 3.8 Um bolo é retirado do forno com temperatura de 80^{\circ} \mathrm{C}. Três minutos depois, sua temperatura está em 50^{\circ} \mathrm{C}. Se a temperatura ambiente é de 32^{\circ} \mathrm{C}, em quanto tempo a temperatura do bolo será de 40^{\circ} \mathrm{C} ? Calcule
\lim _{t \rightarrow+\infty} T(t) .
Passo 1
O enunciado dá uma situação de resfriamento do bolo e pede duas coisas claras:
Em quanto tempo a temperatura do bolo será de 40^{\circ}\mathrm{C}? (tempo contado a partir do instante em que o bolo sai do forno, isto é, a partir de t=0)
Calcular \displaystyle \lim_{t\to+\infty} T(t).
Informações fornecidas no enunciado:
Temperatura inicial do bolo (no instante t=0): T(0)=80^{\circ}\mathrm{C}.
Temperatura do bolo no instante t=3 minutos: T(3)=50^{\circ}\mathrm{C}.
Temperatura ambiente (constante): T_a=32^{\circ}\mathrm{C}.
Passo 2
Modelo físico (fórmula que vamos usar) e motivação passo a passo — explicando a ideia:
A lei que descreve o resfriamento é a chamada lei de Newton do resfriamento. Ela afirma que a taxa de variação da temperatura do objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente.
Em linguagem de equações: \displaystyle \frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-T_a\bigr), onde:
\displaystyle T(t) é a temperatura do bolo no tempo t,
\displaystyle T_a é a temperatura ambiente (aqui 32^{\circ}\mathrm{C}),
\displaystyle k>0 é uma constante positiva (taxa de resfriamento) que depende do objeto e das condições.
Vou resolver essa equação diferencial, porque ela nos dá a forma explícita de T(t).
Passo 3
Solução da equação diferencial passo a passo (integração e interpretação das constantes):
Começamos com \displaystyle \frac{dT}{dt} = -k\bigl(T-T_a\bigr).
Separando variáveis:\frac{dT}{T-T_a} = -k\,dt.
Integramos ambos os lados (integração indefinida):\int \frac{dT}{T-T_a} = \int -k\,dt.A integral do lado esquerdo é \ln|T-T_a|, do direito é -kt + C. Assim:\ln\bigl|T-T_a\bigr| = -kt + C.
Exponenciando ambos os lados (e absorvendo o sinal em uma constante positiva C_1):T(t)-T_a = C_1 e^{-kt},onde C_1 é uma constante real determinada pela condição inicial.
Portanto a forma explícita da temperatura éT(t) = T_a + 48\,e^{-kt} = 32 + 48\,e^{-kt}.Aqui k>0 é desconhecido ainda; vamos encontrá-lo usando a informação T(3)=50^{\circ}\mathrm{C}.
Passo 4
Determinar a constante k usando T(3)=50^{\circ}\mathrm{C}:
Substituindo t=3 e T(3)=50 na expressão T(t)=32+48e^{-kt}:50 = 32 + 48\,e^{-3k}.
Isolando a exponencial:50-32 = 48\,e^{-3k}\quad\Rightarrow\quad 18 = 48\,e^{-3k}.
e^{-3k} = \frac{18}{48} = \frac{3}{8}.
Tomando logaritmo natural:-3k = \ln\!\left(\frac{3}{8}\right) \quad\Rightarrow\quad k = -\frac{1}{3}\ln\!\left(\frac{3}{8}\right).
Valor numérico aproximado (só para intuição):\ln\!\left(\frac{8}{3}\right)\approx 0{,}980829\quad\Rightarrow\quad k\approx \frac{0{,}980829}{3}\approx 0{,}326943.
Passo 5
Encontrar o tempo t tal que T(t)=40^{\circ}\mathrm{C}:
Partimos de T(t)=32+48e^{-kt} e impomos T(t)=40:40 = 32 + 48\,e^{-kt}.
Isolando a exponencial:40-32 = 48\,e^{-kt}\quad\Rightarrow\quad 8 = 48\,e^{-kt}.
e^{-kt} = \frac{8}{48} = \frac{1}{6}.
Tomando logaritmo natural:-kt = \ln\!\left(\frac{1}{6}\right) \quad\Rightarrow\quad t = -\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{1}{6}\right).
Valor numérico aproximado:\ln 6 \approx 1{,}791759,\qquad \ln\!\left(\frac{8}{3}\right)\approx 0{,}980829,
t \approx \frac{3\cdot 1{,}791759}{0{,}980829}\approx 5{,}48\\ \text{minutos}.
Interpretação: cerca de 5{,}48 minutos após o bolo sair do forno (ou seja, cerca de 2{,}48 minutos depois do instante t=3), a temperatura será 40^{\circ}\mathrm{C}.
Passo 6
Calcular o limite \displaystyle \lim_{t\to+\infty} T(t):
Da expressão T(t)=32+48e^{-kt} e sabendo que k>0, temos \displaystyle \lim_{t\to+\infty} e^{-kt}=0.