Exercício 3.8 Um bolo é retirado do forno com temperatura de 80^{\circ} \mathrm{C}. Três minutos depois, sua temperatura está em 50^{\circ} \mathrm{C}. Se a temperatura ambiente é de 32^{\circ} \mathrm{C}, em quanto tempo a temperatura do bolo será de 40^{\circ} \mathrm{C} ? Calcule
\lim _{t \rightarrow+\infty} T(t) .

Passo 1

O enunciado dá uma situação de resfriamento do bolo e pede duas coisas claras:
  1. Em quanto tempo a temperatura do bolo será de 40^{\circ}\mathrm{C}? (tempo contado a partir do instante em que o bolo sai do forno, isto é, a partir de t=0)
  2. Calcular \displaystyle \lim_{t\to+\infty} T(t).
Informações fornecidas no enunciado:
  • Temperatura inicial do bolo (no instante t=0): T(0)=80^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura do bolo no instante t=3 minutos: T(3)=50^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura ambiente (constante): T_a=32^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 2

Modelo físico (fórmula que vamos usar) e motivação passo a passo — explicando a ideia:
  • A lei que descreve o resfriamento é a chamada lei de Newton do resfriamento. Ela afirma que a taxa de variação da temperatura do objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente.
  • Em linguagem de equações: \displaystyle \frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-T_a\bigr), onde:
    • \displaystyle T(t) é a temperatura do bolo no tempo t,
    • \displaystyle T_a é a temperatura ambiente (aqui 32^{\circ}\mathrm{C}),
    • \displaystyle k>0 é uma constante positiva (taxa de resfriamento) que depende do objeto e das condições.
  • Vou resolver essa equação diferencial, porque ela nos dá a forma explícita de T(t).

Passo 3

Solução da equação diferencial passo a passo (integração e interpretação das constantes):
  • Começamos com \displaystyle \frac{dT}{dt} = -k\bigl(T-T_a\bigr).
  • Separando variáveis: \frac{dT}{T-T_a} = -k\,dt.
  • Integramos ambos os lados (integração indefinida): \int \frac{dT}{T-T_a} = \int -k\,dt.A integral do lado esquerdo é \ln|T-T_a|, do direito é -kt + C. Assim: \ln\bigl|T-T_a\bigr| = -kt + C.
  • Exponenciando ambos os lados (e absorvendo o sinal em uma constante positiva C_1): T(t)-T_a = C_1 e^{-kt},onde C_1 é uma constante real determinada pela condição inicial.
  • Usando T(0)=80^{\circ}\mathrm{C} e T_a=32^{\circ}\mathrm{C}: 80-32 = C_1 e^{0} \quad\Rightarrow\quad C_1 = 48.
  • Portanto a forma explícita da temperatura é T(t) = T_a + 48\,e^{-kt} = 32 + 48\,e^{-kt}.Aqui k>0 é desconhecido ainda; vamos encontrá-lo usando a informação T(3)=50^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 4

Determinar a constante k usando T(3)=50^{\circ}\mathrm{C}:
  • Substituindo t=3 e T(3)=50 na expressão T(t)=32+48e^{-kt}: 50 = 32 + 48\,e^{-3k}.
  • Isolando a exponencial: 50-32 = 48\,e^{-3k}\quad\Rightarrow\quad 18 = 48\,e^{-3k}.
e^{-3k} = \frac{18}{48} = \frac{3}{8}.
  • Tomando logaritmo natural: -3k = \ln\!\left(\frac{3}{8}\right) \quad\Rightarrow\quad k = -\frac{1}{3}\ln\!\left(\frac{3}{8}\right).
  • Podemos reescrever usando \ln(a/b)=-\ln(b/a): k = \frac{1}{3}\ln\!\left(\frac{8}{3}\right).
  • Valor numérico aproximado (só para intuição): \ln\!\left(\frac{8}{3}\right)\approx 0{,}980829\quad\Rightarrow\quad k\approx \frac{0{,}980829}{3}\approx 0{,}326943.

Passo 5

Encontrar o tempo t tal que T(t)=40^{\circ}\mathrm{C}:
  • Partimos de T(t)=32+48e^{-kt} e impomos T(t)=40: 40 = 32 + 48\,e^{-kt}.
  • Isolando a exponencial: 40-32 = 48\,e^{-kt}\quad\Rightarrow\quad 8 = 48\,e^{-kt}.
e^{-kt} = \frac{8}{48} = \frac{1}{6}.
  • Tomando logaritmo natural: -kt = \ln\!\left(\frac{1}{6}\right) \quad\Rightarrow\quad t = -\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{1}{6}\right).
  • Usando \ln(1/6) = -\ln 6, obtemos t = \frac{1}{k}\ln 6.
  • Substituindo k=\dfrac{1}{3}\ln\!\left(\dfrac{8}{3}\right) (expressão exata encontrada antes): t = \frac{1}{\frac{1}{3}\ln\!\left(\frac{8}{3}\right)}\ln 6 = \frac{3\ln 6}{\ln\!\left(\dfrac{8}{3}\right)}.
  • Valor numérico aproximado: \ln 6 \approx 1{,}791759,\qquad \ln\!\left(\frac{8}{3}\right)\approx 0{,}980829,
t \approx \frac{3\cdot 1{,}791759}{0{,}980829}\approx 5{,}48\\ \text{minutos}.
Interpretação: cerca de 5{,}48 minutos após o bolo sair do forno (ou seja, cerca de 2{,}48 minutos depois do instante t=3), a temperatura será 40^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular o limite \displaystyle \lim_{t\to+\infty} T(t):
  • Da expressão T(t)=32+48e^{-kt} e sabendo que k>0, temos \displaystyle \lim_{t\to+\infty} e^{-kt}=0.
  • Logo \lim_{t\to+\infty} T(t)=32+48\cdot 0 = 32^{\circ}\mathrm{C}.
  • Interpretação física: à medida que t cresce muito, o bolo atinge a temperatura ambiente 32^{\circ}\mathrm{C}.

Resposta

t = \dfrac{3\ln 6}{\ln\!\left(\dfrac{8}{3}\right)} \approx 5{,}48\\ \text{minutos}\n \displaystyle \lim_{t\to+\infty} T(t)=32^{\circ}\mathrm{C}

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