A car (mass m ) is travelling with the constant velocity v along a banked circular curve (radius r, angle of slope \alpha ), see Fig. 11. The coefficient of static friction \mu_{0} between the tyres of the car and the surface of the road is given.
Determine the region of the allowable velocity so that sliding (down or up the slope) does not take place.

Passo 1

O enunciado dá uma curva circular com raio \(r) e inclinação (bank) \(\alpha). Um carro de massa \(m) percorre essa curva com velocidade constante \(v). O coeficiente de atrito estático entre pneus e pista é \(\mu_0).
O que nos pedem: determinar o intervalo de valores de \(v) para os quais o carro não desliza nem para cima nem para baixo da pista (ou seja, o atrito estático é capaz de manter o carro em equilíbrio dinâmico — força centrípeta dada pelas forças de contato).
Informações relevantes fornecidas:
  • massa \(m),
  • velocidade \(v) (variável a determinar o intervalo),
  • raio da curva \(r),
  • ângulo da inclinação da pista \(\alpha),
  • coeficiente de atrito estático \(\mu_0).

Passo 2

Vamos listar as forças que atuam no carro e como iremos decompor elas (isso é essencial para fazer as contas no exame sem errar):
Forças:
  • peso: \( \vec{P} = m g), vertical para baixo;
  • força normal da pista: \( \vec{N}), perpendicular à superfície inclinada;
  • força de atrito estático: \( \vec{f}), tangente à superfície (pode apontar para cima da rampa ou para baixo da rampa, dependendo se o carro tende a escorregar para baixo ou para cima).
Escolhemos dois eixos práticos: eixo vertical (para cima positivo) e eixo horizontal radial apontando para o centro da curva (inward, positivo). Para decompor \(\vec{N}) e \(\vec{f}) nesses eixos usamos a geometria da inclinação \(\alpha):
  • a normal tem componentes N_{\text{radial}} = N \sin\alpha \quad\text{(para dentro)},
N_{\text{vertical}} = N \cos\alpha \quad\text{(para cima)}.
  • um vetor unitário ao longo da rampa, apontando para cima da rampa (ou seja, para fora da curva na horizontal e para cima verticalmente), faz ângulo \(\alpha) acima da horizontal; portanto um atrito \(f) que atua para cima da rampa tem componentes f_{\text{radial}} = - f \cos\alpha \quad\text{(negativo porque é para fora, isto é, oposto ao sentido radial para dentro)},éé
f_{\text{vertical}} = + f \sin\alpha.
Se o atrito atua para baixo da rampa (isto é, para dentro radialmente), os sinais se invertem:
f_{\text{radial}} = + f \cos\alpha,\qquad f_{\text{vertical}} = - f \sin\alpha.
Comentário físico importante (para fixar): existe uma velocidade “ideal” sem atrito para a qual a componente horizontal da normal provê exatamente a força centrípeta necessária; essa velocidade satisfaz \(N\sin\alpha = m v^2/r) e \(N\cos\alpha = mg), levando a \(v_0^2 = r g \tan\alpha). Se \(v < v_0) a tendência é escorregar para baixo da rampa (através do centro); se \(v > v_0) a tendência é escorregar para cima da rampa (para fora). O atrito corrige essa tendência contanto que não ultrapasse \(\mu_0 N).

Passo 3

Agora escrevemos as equações de equilíbrio (resultante das forças) nas direções vertical e radial para os dois possíveis sentidos do atrito (duas situações separadas):
Defina A=\dfrac{m v^2}{r} e B = m g para simplificar a escrita.
Caso A — o atrito atua para cima da rampa (impede que o carro deslize para baixo):
  • equilíbrio radial (para dentro positivo): N\sin\alpha - f\cos\alpha = A.
  • equilíbrio vertical (para cima positivo): N\cos\alpha + f\sin\alpha = B.
Caso B — o atrito atua para baixo da rampa (impede que o carro deslize para cima):
  • equilíbrio radial: N\sin\alpha + f\cos\alpha = A.
  • equilíbrio vertical: N\cos\alpha - f\sin\alpha = B.
Esses dois sistemas são lineares em N e f. Vamos resolver de forma prática e elegante (a mesma técnica vale para ambos os casos): multiplique a equação radial por \sin\alpha e a vertical por \cos\alpha e some — isso elimina f e isola N:
somando dá (para ambos os casos)
N(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=A\sin\alpha + B\cos\alpha.
Como \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1), obtemos
N = \dfrac{m v^2}{r}\sin\alpha + m g \cos\alpha.
Ou escrevendo sem a abreviação:
N = \left(\dfrac{m v^2}{r}\right)\sin\alpha + m g \cos\alpha.
Agora encontramos f em cada caso substituindo N.
Para o Caso A (atrito para cima da rampa) obtemos, substituindo e eliminando:
f = m g \sin\alpha - \left(\dfrac{m v^2}{r}\right)\cos\alpha.
Para o Caso B (atrito para baixo da rampa) obtemos:
f = \left(\dfrac{m v^2}{r}\right)\cos\alpha - m g \sin\alpha.
Observação: essas expressões fazem sentido físico — se \(v^2 = r g \tan\alpha) ambas dão f=0 (velocidade ideal sem atrito). Se \(v^2 < r g \tan\alpha) a expressão do Caso A dá f>0 (é preciso atrito para cima), se \(v^2 > r g \tan\alpha) a do Caso B dá f>0 (é preciso atrito para baixo).

Passo 4

Agora impomos o limite do atrito estático: \(|f| \le \mu_0 N). Aplicamos isso separadamente para cada caso.
Caso A (atrito para cima): usamos f = m g \sin\alpha - \dfrac{m v^2}{r}\cos\alpha e N acima. A condição f \le \mu_0 N (e lembrando que f\ge0 neste caso, o que implica v^2 \le r g \tan\alpha) dá
m g \sin\alpha - \left(\dfrac{m v^2}{r}\right)\cos\alpha \le \mu_0\!\left[\left(\dfrac{m v^2}{r}\right)\sin\alpha + m g \cos\alpha\right].
Dividindo por m e reorganizando os termos com \dfrac{v^2}{r} numa só lado:
- \left(\dfrac{v^2}{r}\right)\big(\cos\alpha + \mu_0\sin\alpha\big) \le g(\mu_0\cos\alpha - \sin\alpha).
Multiplicando por -1 e invertendo a desigualdade:
\left(\dfrac{v^2}{r}\right)\big(\cos\alpha + \mu_0\sin\alpha\big) \ge g(\sin\alpha - \mu_0\cos\alpha).
Assim obtemos a condição inferior para v^2:
v^2 \ge r g\,\dfrac{\sin\alpha - \mu_0\cos\alpha}{\cos\alpha + \mu_0\sin\alpha}.
Notar que essa condição só é relevante quando o lado direito é positivo; se o numerador \sin\alpha - \mu_0\cos\alpha for negativo então a desigualdade é automaticamente satisfe por todos os v\ge0 e, fisicamente, não há limite inferior diferente de zero (isto é, v pode ser arbitrariamente pequeno sem deslizar para baixo).
Caso B (atrito para baixo): usamos f = \dfrac{m v^2}{r}\cos\alpha - m g \sin\alpha e a mesma N. A condição f \le \mu_0 N (com f\ge0 neste caso, implicando v^2 \ge r g \tan\alpha) dá
\left(\dfrac{m v^2}{r}\right)\cos\alpha - m g \sin\alpha \le \mu_0\!\left[\left(\dfrac{m v^2}{r}\right)\sin\alpha + m g \cos\alpha\right].
Dividindo por m e juntando termos em \dfrac{v^2}{r}:
\left(\dfrac{v^2}{r}\right)\big(\cos\alpha - \mu_0\sin\alpha\big) \le g(\sin\alpha + \mu_0\cos\alpha).
Daí obtemos a condição superior para v^2:
v^2 \le r g\,\dfrac{\sin\alpha + \mu_0\cos\alpha}{\cos\alpha - \mu_0\sin\alpha}.
Aqui devemos tomar cuidado: o denominador \cos\alpha - \mu_0\sin\alpha deve ser positivo para que a expressão dê um limite físico finito; se \cos\alpha - \mu_0\sin\alpha \le 0 então o lado direito seria negativo ou infinito e, fisicamente, significa que com atrito suficientemente grande (ou ângulo suficientemente pequeno) não há limite superior — o carro não será obrigado a deslizar para fora para qualquer velocidade prática (ou seja, a condição de não deslizar para cima é sempre satisfeita).

Passo 5

Resumo das condições combinadas: juntar as duas desigualdades (inferior e superior) nos dá o intervalo permitido para \(v). Em termos compactos:
r g\,\dfrac{\sin\alpha - \mu_0\cos\alpha}{\cos\alpha + \mu_0\sin\alpha} \; \le\; v^2 \;\le\; r g\,\dfrac{\sin\alpha + \mu_0\cos\alpha}{\cos\alpha - \mu_0\sin\alpha}.
Tomando raízes quadradas (velocidade positiva), a faixa de velocidades permitidas é
\sqrt{\, r g\,\dfrac{\sin\alpha - \mu_0\cos\alpha}{\cos\alpha + \mu_0\sin\alpha}\,} \;\le\; v \;\le\; \sqrt{\, r g\,\dfrac{\sin\alpha + \mu_0\cos\alpha}{\cos\alpha - \mu_0\sin\alpha}\,}.
Condições especiais práticas:
  • Se \(\sin\alpha - \mu_0\cos\alpha \le 0) então o limite inferior é menor ou igual a zero — fisicamente não há limite inferior (pode-se considerar v_{\min}=0).
  • Se \(\cos\alpha - \mu_0\sin\alpha \le 0) então o limite superior não é finito (em termos práticos, o atrito é suficientemente grande para impedir deslize para cima para quaisquer velocidades razoáveis).

Resposta

\sqrt{\, r g\,\dfrac{\sin\alpha - \mu_0\cos\alpha}{\cos\alpha + \mu_0\sin\alpha}\,} \;\le\; v \;\le\; \sqrt{\, r g\,\dfrac{\sin\alpha + \mu_0\cos\alpha}{\cos\alpha - \mu_0\sin\alpha}\,}

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