What is the minimal amount of energy needed to launch a satellite of mass
into a circular orbit with altitude h? (Hint: it is more easy when we assume the potential to be zero at the Earth surface.)
Passo 1
O enunciado pede: qual é a energia mínima necessária para lançar um satélite de massa
para uma órbita circular de altitude
acima da superfície da Terra, supondo que o potencial gravitacional valha zero na superfície da Terra.
Informações e incógnitas que temos e definimos explicitamente:
Informações e incógnitas que temos e definimos explicitamente:
A órbita circular terá raio
. Precisamos encontrar a energia mínima a ser fornecida partindo do repouso na superfície (energia inicial = 0 com a escolha do potencial dada) até a condição final de órbita circular (energia cinética adequada + energia potencial correspondente).
Passo 2
Estratégia: em problemas de energia na gravitação, a energia mínima necessária em um processo ideal (sem perdas dissipativas) é a variação da energia mecânica total (energia cinética + energia potencial) entre o estado final e o estado inicial. Como o enunciado nos sugere tomar o potencial zero na superfície, a energia inicial é simples: o satélite está em repouso na superfície, logo energia inicial
Portanto a energia mínima a fornecer é simplesmente
onde
é a energia total do satélite em órbita circular de raio
.
Passo 3
Vamos encontrar a energia potencial gravitacional com a escolha de referência pedida. A energia potencial gravitacional em relação ao infinito é
Se tomamos o potencial igual a zero na superfície (
), a energia potencial relativa a essa referência é
Multiplicando por
para obter a energia potencial do satélite:
Confirmações: com essa escolha
(na superfície) e
para
, como esperado.
Passo 4
Agora calculamos a energia cinética necessária para uma órbita circular de raio
. Para uma órbita circular a velocidade
satisfaz a condição de equilíbrio entre força centrípeta e força gravitacional:
Cancelando
e resolvendo para
obtemos
A energia cinética é então
Passo 5
A energia total final
(com nossa referência do potencial na superfície) é a soma da energia cinética e da energia potencial em
:
Agora simplificamos essa expressão passo a passo. Primeiro expande-se a subtração:
Combinando os dois primeiros termos, que têm denominador
:
Logo
Passo 6
Portanto a energia mínima que devemos fornecer (variação de energia mecânica) é
onde
. Podemos também escrever em forma algebricamente expandida substituindo
:
Comentário rápido para intuição: se
(órbita tangente à superfície) obtemos
, que é a energia cinética de órbita na superfície. Para
a expressão se aproxima de
, que é a energia necessária para levar a massa até o infinito (isto é, a energia de escape desde a superfície) — faz sentido físico.
Passo 7
Resumo didático do que foi usado (para você poder reproduzir na prova):
- Escolhemos referência do potencial para simplificar:
. Assim . - A energia potencial para
com essa referência é . - A velocidade de órbita circular vem da igualdade força centrípeta = força gravitacional, dando
e . - A energia mínima é a diferença
, que simplifica para a expressão final acima.
Boa! Você já tem a fórmula e entende de onde vem cada termo — isso resolve este tipo de questão na prova.