What is the minimal amount of energy needed to launch a satellite of mass m into a circular orbit with altitude h? (Hint: it is more easy when we assume the potential to be zero at the Earth surface.)

Passo 1

O enunciado pede: qual é a energia mínima necessária para lançar um satélite de massa m para uma órbita circular de altitude h acima da superfície da Terra, supondo que o potencial gravitacional valha zero na superfície da Terra.
Informações e incógnitas que temos e definimos explicitamente:
m\quad\text{(massa do satélite)},é
h\quad\text{(altitude da órbita acima da superfície)},óí
R\quad\text{(raio da Terra)},
M\quad\text{(massa da Terra)},
G\quad\text{(constante gravitacional)}.
A órbita circular terá raio r=R+h. Precisamos encontrar a energia mínima a ser fornecida partindo do repouso na superfície (energia inicial = 0 com a escolha do potencial dada) até a condição final de órbita circular (energia cinética adequada + energia potencial correspondente).

Passo 2

Estratégia: em problemas de energia na gravitação, a energia mínima necessária em um processo ideal (sem perdas dissipativas) é a variação da energia mecânica total (energia cinética + energia potencial) entre o estado final e o estado inicial. Como o enunciado nos sugere tomar o potencial zero na superfície, a energia inicial é simples: o satélite está em repouso na superfície, logo energia inicial
E_i=0.
Portanto a energia mínima a fornecer é simplesmente
\Delta E = E_f - E_i = E_f,
onde E_f é a energia total do satélite em órbita circular de raio r.

Passo 3

Vamos encontrar a energia potencial gravitacional com a escolha de referência pedida. A energia potencial gravitacional em relação ao infinito é
V_\infty(r)=-\frac{GM}{r}.
Se tomamos o potencial igual a zero na superfície ( r=R), a energia potencial relativa a essa referência é
V(r)=V_\infty(r)-V_\infty(R) = -\frac{GM}{r} -\left(-\frac{GM}{R}\right) = -GM\!\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right).
Multiplicando por m para obter a energia potencial do satélite:
U(r)=m\,V(r) = -GMm\!\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right).
Confirmações: com essa escolha U(R)=0 (na superfície) e U(r)<0 para r>R, como esperado.

Passo 4

Agora calculamos a energia cinética necessária para uma órbita circular de raio r. Para uma órbita circular a velocidade v satisfaz a condição de equilíbrio entre força centrípeta e força gravitacional:
\frac{m v^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}.
Cancelando m e resolvendo para v^2 obtemos
v^2 = \frac{GM}{r}.
A energia cinética é então
K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \frac{GM}{r} = \frac{GMm}{2r}.

Passo 5

A energia total final E_f (com nossa referência do potencial na superfície) é a soma da energia cinética e da energia potencial em r:
E_f = K + U(r) = \frac{GMm}{2r} - GMm\!\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right).
Agora simplificamos essa expressão passo a passo. Primeiro expande-se a subtração:
E_f = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} + \frac{GMm}{R}.
Combinando os dois primeiros termos, que têm denominador r:
\frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}.
Logo
E_f = -\frac{GMm}{2r} + \frac{GMm}{R}.

Passo 6

Portanto a energia mínima que devemos fornecer (variação de energia mecânica) é
\Delta E = E_f = GMm\!\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{2r}\right),
onde r=R+h. Podemos também escrever em forma algebricamente expandida substituindo r:
\Delta E = GMm\!\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{2(R+h)}\right) = GMm\frac{2(R+h)-R}{2R(R+h)} = GMm\frac{R+2h}{2R(R+h)}.
Comentário rápido para intuição: se h=0 (órbita tangente à superfície) obtemos \Delta E = \dfrac{GMm}{2R}, que é a energia cinética de órbita na superfície. Para h\to\infty a expressão se aproxima de \dfrac{GMm}{R}, que é a energia necessária para levar a massa até o infinito (isto é, a energia de escape desde a superfície) — faz sentido físico.

Passo 7

Resumo didático do que foi usado (para você poder reproduzir na prova):
  • Escolhemos referência do potencial para simplificar: U(R)=0. Assim E_i=0.
  • A energia potencial para r com essa referência é U(r)=-GMm\!\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{R}\right).
  • A velocidade de órbita circular vem da igualdade força centrípeta = força gravitacional, dando v^2=GM/r e K=GMm/(2r).
  • A energia mínima é a diferença E_f-E_i=K+U(r), que simplifica para a expressão final acima.
    Boa! Você já tem a fórmula e entende de onde vem cada termo — isso resolve este tipo de questão na prova.

Resposta

\Delta E = GMm\!\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{2(R+h)}\right) = GMm\frac{R+2h}{2R(R+h)}

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