Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.
f(x)=\operatorname{arccos} \left(\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right).
Informações dadas e observações diretas do enunciado:
\text{função } f(x)=\operatorname{arccos}(u(x)),\quad\text{onde } u(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}.çã
Observação sobre domínio (importante para a derivada): a expressão \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} só faz sentido real para |x|<1 por causa de \sqrt{1-x^{2}}, e para que o argumento de \operatorname{arccos} seja válido nós precisamos que |u(x)|\le 1. Não vamos resolver o domínio completamente aqui — isso vem na dedução — mas já é importante saber que existe uma restrição em x.

Passo 2

Regra que vamos usar (cadeia + derivada da arccos): se f(x)=\operatorname{arccos}(u(x)) então, pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{arccos}(u(x))=-\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^{2}}}.
Explicando devagar: a função \operatorname{arccos} é a função inversa do \cos restrito; a sua derivada é \dfrac{d}{du}\operatorname{arccos}(u)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} (essa fórmula vale para |u|<1). Aqui u(x) é a função interna; aplicamos a regra da cadeia: derivada externa avaliada em u(x) vezes u'(x).

Passo 3

Definimos a função interna e preparamos para derivar:
u(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}.
É mais simples derivar escrevendo u(x) como produto/potência:
u(x)=x(1-x^{2})^{-1/2}.
Agora usaremos a regra do produto e a regra da cadeia/potência para derivar u(x).

Passo 4

Derivando u(x)=x(1-x^{2})^{-1/2} passo a passo:
  • Regra do produto: (vw)'=v'w+vw'. Aqui v(x)=x e w(x)=(1-x^{2})^{-1/2}.
  • Temos v'(x)=1.
  • Para w'(x) usamos a regra da cadeia: se w=(1-x^{2})^{\alpha} com \alpha=-\tfrac{1}{2}, então
w'(x)=\alpha(1-x^{2})^{\alpha-1}\cdot(-2x).
Substituindo \alpha=-\tfrac{1}{2}
w'(x)=-\tfrac{1}{2}(1-x^{2})^{-3/2}\cdot(-2x)=x(1-x^{2})^{-3/2}.
Agora aplicando o produto:
u'(x)=v'(x)w(x)+v(x)w'(x)=(1)(1-x^{2})^{-1/2}+x\cdot x(1-x^{2})^{-3/2}.
Colocando um fator comum (1-x^{2})^{-3/2}:
u'(x)=(1-x^{2})^{-3/2}\big[(1-x^{2})+x^{2}\big]=(1-x^{2})^{-3/2}\cdot 1=(1-x^{2})^{-3/2}.
Portanto
u'(x)=\frac{1}{(1-x^{2})^{3/2}}.

Passo 5

Agora precisamos do fator \sqrt{1-u(x)^{2}} que aparece no denominador da derivada da \operatorname{arccos}. Calculamos 1-u(x)^{2}:
u(x)^{2}=\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{1-x^{2}}.
Logo
1-u(x)^{2}=1-\frac{x^{2}}{1-x^{2}}=\frac{1-x^{2}-x^{2}}{1-x^{2}}=\frac{1-2x^{2}}{1-x^{2}}.
Então
\sqrt{1-u(x)^{2}}=\sqrt{\frac{1-2x^{2}}{1-x^{2}}}=\frac{\sqrt{1-2x^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}},
desde que 1-2x^{2}\ge 0 (caso contrário a raiz não é real). A condição 1-2x^{2}\ge 0 equivale a |x|\le\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Isso coincide com a exigência de que |u(x)|\le 1 para o \operatorname{arccos} estar bem definido. Portanto, na região onde a função original é real e derivável, \sqrt{1-u(x)^{2}}=\dfrac{\sqrt{1-2x^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 6

Agora juntamos tudo na fórmula da cadeia:
f'(x)=-\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^{2}}}=-\frac{\dfrac{1}{(1-x^{2})^{3/2}}}{\dfrac{\sqrt{1-2x^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}}}.
Simplificando a fração:
f'(x)=-\frac{1}{(1-x^{2})^{3/2}}\cdot\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{1-2x^{2}}}=-\frac{1}{(1-x^{2})^{3/2-1/2}\,\sqrt{1-2x^{2}}}.
Como 3/2-1/2=1, obtemos a forma simplificada
f'(x)=-\frac{1}{(1-x^{2})\sqrt{1-2x^{2}}}.

Passo 7

Resumo final e observação sobre domínio: a derivada obtida vale para os x em que a função original está definida e diferenciável — ou seja, para |x|<\dfrac{1}{\sqrt{2}} (no bordo |x|=\tfrac{1}{\sqrt{2}} o denominador \sqrt{1-2x^{2}} anula-se e a derivada explode). Portanto a expressão final é válida em \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{(1-x^{2})\sqrt{1-2x^{2}}}
\text{válido para }|x|<\frac{1}{\sqrt{2}}.á

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