Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas e observações diretas do enunciado:
Observação sobre domínio (importante para a derivada): a expressão
só faz sentido real para
por causa de
, e para que o argumento de
seja válido nós precisamos que
. Não vamos resolver o domínio completamente aqui — isso vem na dedução — mas já é importante saber que existe uma restrição em
.
Passo 2
Regra que vamos usar (cadeia + derivada da arccos): se
então, pela regra da cadeia,
Explicando devagar: a função
é a função inversa do
restrito; a sua derivada é
(essa fórmula vale para
). Aqui
é a função interna; aplicamos a regra da cadeia: derivada externa avaliada em
vezes
.
Passo 3
Definimos a função interna e preparamos para derivar:
É mais simples derivar escrevendo
como produto/potência:
Agora usaremos a regra do produto e a regra da cadeia/potência para derivar
.
Passo 4
Derivando
passo a passo:
- Regra do produto:
. Aqui e . - Temos
. - Para
usamos a regra da cadeia: se com , então
Substituindo
dá
Agora aplicando o produto:
Colocando um fator comum
:
Portanto
Passo 5
Agora precisamos do fator
que aparece no denominador da derivada da
. Calculamos
:
Logo
Então
desde que
(caso contrário a raiz não é real). A condição
equivale a
. Isso coincide com a exigência de que
para o
estar bem definido. Portanto, na região onde a função original é real e derivável,
.
Passo 6
Agora juntamos tudo na fórmula da cadeia:
Simplificando a fração:
Como
, obtemos a forma simplificada
Passo 7
Resumo final e observação sobre domínio: a derivada obtida vale para os
em que a função original está definida e diferenciável — ou seja, para
(no bordo
o denominador
anula-se e a derivada explode). Portanto a expressão final é válida em
.