Exercício 7.5 Em cada um dos casos abaixo, encontre uma base do espaço vetorial V contida no conjunto S.
V=C, S=1-i, 2+i, i,-3 i.

Passo 1

O enunciado pede uma base de V=C (visto como espaço vetorial sobre C) contida no conjunto
S=1-i,;2+i,;i,;-3i
Como C tem dimensão 1 sobre si mesmo, qualquer base deve ter exatamente um vetor não-nulo.

Passo 2

Lembre que num espaço vetorial de dimensão 1 sobre o corpo de escalares, qualquer vetor não-nulo forma uma base: ele é linearmente independente (não há escalares lambda tais que lambda v=0 a não ser lambda=0) e gera todo o espaço ( forall zinC, z=(z/v),v).

Passo 3

Verificamos que todos os elementos de S são diferentes de zero:
1-ineq0, 2+ineq0, ineq0, -3ineq0
Logo, basta escolher qualquer um deles.

Passo 4

Tomando por exemplo 1-i, o conjunto 1-i é linearmente independente e, por ter um elemento não-nulo, gera C. Portanto é uma base de V contida em S.

Resposta

,1-i,

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