(Questão 1) [1 , 5 0] Seja r a razão em que o ponto P divide o segmento orientado não-nulo (A, B). Prove que r neq-1 e que A P=r1+r A B.

Passo 1

O enunciado define que o ponto P divide o segmento orientado não-nulo (A,B) com razão r, isto é, por definição vetorial vale
AP = r,PB
Queremos mostrar que rneq -1 e, em seguida, expressar AP em função de AB. Para isso usaremos a soma de vetores em um segmento:
AB = AP + PB

Passo 2

Provar que rneq -1. Suponha, por absurdo, que r=-1. Então da definição teríamos
AP = -1cdotPB Longrightarrow AP + PB = 0
Mas AP + PB = AB, logo AB=0, o que contradiz a hipótese de segmento não-nulo ( Aneq B). Portanto rneq -1.

Passo 3

A partir de AP = r,PB e sabendo que rneq 0 (caso contrário P=A e não há divisão do segmento), podemos isolar PB:
PB = 1r,AP
Substituindo na soma
AB = AP + PB = AP + 1r,AP = l(1 + tfrac1rr)AP

Passo 4

Como já mostramos que rneq -1, temos 1+tfrac1rneq0. Assim podemos inverter a relação anterior para obter AP em função de AB:
AP = 11+tfrac1r,AB = r1+r,AB

Resposta

AP = r1+r,AB.

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