(Questão 1)
Seja
a razão em que o ponto
divide o segmento orientado não-nulo
. Prove que
e que
.
Passo 1
O enunciado define que o ponto
P divide o segmento orientado não-nulo
(A,B) com razão
r , isto é, por definição vetorial vale
Queremos mostrar que
rneq -1 e, em seguida, expressar
AP em função de
AB . Para isso usaremos a soma de vetores em um segmento:
Passo 2
Provar que
rneq -1 . Suponha, por absurdo, que
r=-1 . Então da definição teríamos
Mas
AP + PB = AB , logo
AB=0 , o que contradiz a hipótese de segmento não-nulo (
Aneq B ). Portanto
rneq -1 .
Passo 3
A partir de
AP = r,PB e sabendo que
rneq 0 (caso contrário
P=A e não há divisão do segmento), podemos isolar
PB :
Substituindo na soma
Passo 4
Como já mostramos que
rneq -1 , temos
1+tfrac1rneq0 . Assim podemos inverter a relação anterior para obter
AP em função de
AB :