Exercício 7.5 Em cada um dos casos abaixo, encontre uma base do espaço vetorial V contida no conjunto S.
$V=\left{\left( lla & b c & d\right) \in \mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}): a-d=0, b+2 c=0\right}
S=(cc 2 & -2 1 & 2 ),(cc 0 & 4 -2 & 0 ),(cc 1 & 0 0 & 1 ),(cc -4 & 4 -2 & -4 )

Passo 1

O enunciado define o subespaço
e o conjunto
Queremos extrair de duas matrizes que formem uma base de . Como serão dois vetores (matrizes) linearly independent, isto indica que .

Passo 2

Parametrizamos resolvendo as restrições e . Logo um elemento genérico de é
Para usar matrizes de , note que
Assim qualquer pode ser escrito como

Passo 3

Verificamos que M2 e M3 pertencem a S e satisfazem as condições de V:
  • Para M3, a=1,d=1 e b=0,c=0 dão a-d=0 e b+2c=0.
  • Para M2, a=0,d=0 e b=4,c=-2 dão a-d=0 e b+2c=4+2(-2)=0.

Passo 4

Mostramos que M3 e M2 são linearmente independentes. Se xM3+yM2=0, então pelas entradas
x+0=0Rightarrow;x=0, 0+4y=0Rightarrow;y=0
Logo são independentes.

Passo 5

Como em

Passo 6

,M3,,M2
é uma base de V contida em S.

Resposta

l1&00&1,; 0&4-2&0r

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