Exercício 7.5 Em cada um dos casos abaixo, encontre uma base do espaço vetorial contida no conjunto .
$V=\left{\left(\right) \in \mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}): a-d=0, b+2 c=0\right}
Passo 1
O enunciado define o subespaço
e o conjunto
Queremos extrair de duas matrizes que formem uma base de . Como serão dois vetores (matrizes) linearly independent, isto indica que .
Passo 2
Parametrizamos resolvendo as restrições e . Logo um elemento genérico de é
Para usar matrizes de , note que
Assim qualquer pode ser escrito como
Passo 3
Verificamos que M2 e M3 pertencem a S e satisfazem as condições de V:
Para M3, a=1,d=1 e b=0,c=0 dão a-d=0 e b+2c=0.
Para M2, a=0,d=0 e b=4,c=-2 dão a-d=0 e b+2c=4+2(-2)=0.
Passo 4
Mostramos que M3 e M2 são linearmente independentes. Se xM3+yM2=0, então pelas entradas