Exercício 7.5 Em cada um dos casos abaixo, encontre uma base do espaço vetorial V contida no conjunto S.
V=R^3, S=(-1,0,1),(0,1,1),(2,3,1),(2,2,0),(1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede uma base de V = R^3 contida no conjunto
S = ,v1=(-1,0,1),;v2=(0,1,1),;v3=(2,3,1),;v4=(2,2,0),;v5=(1,1,1)
Em R^3 uma base precisa de exatamente três vetores linearmente independentes. Para identificar quais de S são independentes, montamos a matriz cujas colunas são os vetores de S e aplicamos eliminação de Gauss para achar as colunas-pivô.

Passo 2

Escrevemos a matriz
A = -1 & 0 & 2 & 2 & 1 0 & 1 & 3 & 2 & 1 1 & 1 & 1 & 0 & 1 ,
onde a coluna j é o vetor vj. Nosso objetivo é triangularizar por linhas para ver quais colunas ficam com pivô.

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss em A:
  1. Multiplicamos a linha 1 por -1:
1 & 0 & -2 & -2 & -1 0 & 1 & 3 & 2 & 1 1 & 1 & 1 & 0 & 1
  1. Eliminamos a entrada abaixo do pivô em coluna 1:
    nova linha 3 = linha 3 − linha 1
1 & 0 & -2 & -2 & -1 0 & 1 & 3 & 2 & 1 0 & 1 & 3 & 2 & 2
  1. O pivô da coluna 2 está na linha 2. Eliminamos abaixo:
    nova linha 3 = linha 3 − linha 2
1 & 0 & -2 & -2 & -1 0 & 1 & 3 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1

Passo 4

Da forma escalonada, vemos pivôs nas colunas 1, 2 e 5. Isso significa que v1,v2,v5 são linearmente independentes e geram R^3. Logo, uma base de V contida em S é
,(-1,0,1),;(0,1,1),;(1,1,1)

Resposta

(-1,0,1),;(0,1,1),;(1,1,1)

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