Considere a elipse de centro , foco e excentricidade . Encontre:
a) as equações cartesianas da reta focal e da reta não-focal;
b) as coordenadas dos vértices e do outro foco da elipse;
c) a equação cartesiana da elipse e faça seu esboço.
Passo 1
O enunciado dá uma elipse de centro , um foco e excentricidade . Pede-se
a) as equações da reta focal (eixo maior) e da reta não-focal (eixo menor),
b) os vértices e o outro foco ,
c) a equação cartesiana da elipse e seu esboço.
Vamos usar geometria analítica de cônicas rotacionadas.
Passo 2
Direção do eixo maior: vetor .
Reta focal (pelo centro e F1):
y-1 = 12(x-1)
Direção do eixo menor é perpendicular a (2,1), por exemplo (-1,2).
Reta não-focal:
y-1 = -2,(x-1)
Passo 3
Distância do centro a F1 é
c=raiz2^2+1^2=raiz5
Como e=c/a, vem
a = ce = raiz5raiz5/3=3, b = raiza^2 - c^2 = raiz9-5=2
Vértices estão a a ao longo da direção unitária tfrac1raiz5(2,1):