Considere a elipse E de centro (1,1), foco (3,2) e excentricidade raiz53. Encontre:
a) as equações cartesianas da reta focal e da reta não-focal;
b) as coordenadas dos vértices e do outro foco da elipse;
c) a equação cartesiana da elipse e faça seu esboço.

Passo 1

O enunciado dá uma elipse E de centro C=(1,1), um foco F1=(3,2) e excentricidade e=tfracraiz53. Pede-se
a) as equações da reta focal (eixo maior) e da reta não-focal (eixo menor),
b) os vértices e o outro foco F2,
c) a equação cartesiana da elipse e seu esboço.
Vamos usar geometria analítica de cônicas rotacionadas.

Passo 2

Direção do eixo maior: vetor CF1=(3-1,2-1)=(2,1).
Reta focal (pelo centro e F1):
y-1 = 12(x-1)
Direção do eixo menor é perpendicular a (2,1), por exemplo (-1,2).
Reta não-focal:
y-1 = -2,(x-1)

Passo 3

Distância do centro a F1 é
c=raiz2^2+1^2=raiz5
Como e=c/a, vem
a = ce = raiz5raiz5/3=3, b = raiza^2 - c^2 = raiz9-5=2
Vértices estão a a ao longo da direção unitária tfrac1raiz5(2,1):
V1,2 = (1,1)pm 3l(tfrac2raiz5,tfrac1raiz5r) = l(1pm tfrac6raiz5,,1pm tfrac3raiz5r)
O outro foco F2 é C - c,tfrac1raiz5(2,1):
F2 = (1,1) - (,2,1,) = (-1,0)

Passo 4

Seja X=(x-1,y-1). Defina os vetores unitários
u=1raiz5(2,1), v=1raiz5(-1,2)
Então a elipse satisfaz
( Xcdot u)^2a^2 + ( Xcdot v)^2b^2 = 1
Calculando
Xcdot u = 2(x-1)+(y-1)raiz5 = 2x+y-3raiz5, Xcdot v = - (x-1)+2(y-1)raiz5 = -x+2y-1raiz5,
vem a equação em x,y:
(2x+y-3)^245 ;+; (-x+2y-1)^220 ;=; 1

Passo 5

Esboço da elipse:
  • Centro em (1,1).
  • Eixo maior de comprimento 2a=6 na direção do vetor (2,1). Vértices em l(1pm6/raiz5,1pm3/raiz5r).
  • Eixo menor de comprimento 2b=4 na direção de (-1,2).
  • Focos em F1=(3,2) e F2=(-1,0).

Resposta

a)
Reta focal: y-1=tfrac12(x-1), Reta não-focal: y-1=-2(x-1)ã
b)
Vértices l(1pm tfrac6raiz5,,1pm tfrac3raiz5r),
outro foco F2 =(-1,0)
c)
(2x+y-3)^245 ;+; (-x+2y-1)^220 ;=; 1
Esboço: elipse centrada em (1,1), eixo maior na direção ,(2,1), eixo menor na direção ,(-1,2), vértices e focos conforme acima.

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