(Questão 3) [1 , 5 0] Sendo E=(e1, e2, e3), F=(f1, f2, f3) bases, com
& f1=2 e1-e3 & f2=e2+2 e3 e w=e1+e2+e3, ache w em termos da base F & f3=7 e3

Passo 1

O enunciado dá duas bases
,E=(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3) e
,F=(overrightarrow f1,overrightarrow f2,overrightarrow f3)
com
overrightarrow f1 = 2overrightarrow e1 - overrightarrow e3, overrightarrow f2 = overrightarrow e2 + 2overrightarrow e3, overrightarrow f3 = 7overrightarrow e3
e o vetor
,vec w = overrightarrow e1 + overrightarrow e2 + overrightarrow e3.
Queremos achar as coordenadas (a,b,c) de vec w na base F, ou seja resolver
vec w = a,overrightarrow f1 + b,overrightarrow f2 + c,overrightarrow f3

Passo 2

Escrevendo tudo em coordenadas na base E:
overrightarrow f1 = (2,0,-1), overrightarrow f2 = (0,1,2), overrightarrow f3 = (0,0,7), vec w = (1,1,1)
Logo a combinação linear vira
(1,1,1) = a,(2,0,-1) + b,(0,1,2) + c,(0,0,7)

Passo 3

Igualando componente a componente, obtemos o sistema
2a = 1, b = 1, -,a + 2b + 7c = 1
Da primeira equação vem
a = tfrac12,
da segunda
b = 1,
e substituindo em -a +2b +7c =1
-,tfrac12 + 2cdot1 + 7c = 1 Longrightarrow ;+!1,5 +7c =1 Longrightarrow 7c = -tfrac12 Longrightarrow c = -tfrac114

Resposta

As coordenadas de vec w na base F são
boxedl(tfrac12,;1,;-tfrac114r)

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