Exercício 1. Para cada classe de EDO de primeira ordem abaixo, descreva o método de como obter soluções e apresente um exemplo em cada caso.
Exata.
Exata.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) descrever o método para resolver uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem do tipo “exata”; (ii) apresentar um exemplo resolvido desse tipo. Informação dada: a classe considerada é “Exata”.
Passo 2
O que significa uma EDO ser exata? Escrevemos a EDO no formato diferencial
onde
e
são funções dadas de
e
. A equação é dita exata quando existe uma função potencial
tal que
Isto quer dizer que precisamos ter
A condição prática e rápida para testar exatidão (quando
e
têm derivadas parciais contínuas) é
Se isso vale, a equação é exata e existe
com
.
Passo 3
Intuição do porquê da condição: se
é duas vezes diferenciável, então pela igualdade das derivadas parciais cruzadas temos
ou seja,
Portanto, checar essa igualdade é o teste de exatidão.
Passo 4
Método passo a passo para resolver quando a equação é exata:
- Escreva a EDO como
. - Verifique a exatidão calculando
e . Se forem iguais, prossiga; senão a equação não é exata (veja observação sobre fatores integrantes mais adiante). - Procure uma função potencial
tal que e . - Integre
em relação a : . Aqui é uma “constante” de integração que pode depender de (porque ao integrar em tratamos como constante). - Diferencie essa expressão em relação a
: . - Iguale
à função e resolva para . Integre para obter .
- Integre
- A solução geral (implícita) é
, onde é constante arbitrária. - Se necessário, tente isolar
em função de para obter solução explícita, mas normalmente o resultado implícito é aceitável em provas.
Passo 5
Explicando com calma cada item usado:
- Quando escrevo
significa que estou afirmando que a derivada parcial da função em relação a , mantendo fixo, é exatamente a função da EDO. Similar para . - Na integração
tratamos como constante: por isso aparece uma função que representa toda a parte “perdida” que depende só de . - Igualando
obtida pela diferenciação com a função da EDO, encontramos . Integrando obtemos até uma constante real que vai compor a constante final .
Passo 6
Observação importante (quando a equação não é exata): se
pode existir um fator integrante
que depende só de
ou
que depende só de
tal que multiplicando a equação por
ela se torne exata. Fórmulas úteis para testar:
- Se
depende apenas de , então existe . - Se
depende apenas de , então existe .
Não vou me aprofundar nisso aqui, mas é algo que costuma cair em prova quando a equação não é exata à primeira vista.
Passo 7
Agora um exemplo concreto e resolvido passo a passo (escolhi um exemplo que é exato de modo simples):
Considere a EDO
Considere a EDO
Aqui
e
.
Passo 8
Teste de exatidão:
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Como
, a equação é exata.
Passo 9
Procure
com
. Integramos
em relação a
:
Ao integrar
tratamos
como constante, obtendo
. Ao integrar
obtemos
(porque
é constante em
). Portanto
onde
é a função de
que ainda falta determinar.
Passo 10
Agora imponha
. Calcule
a partir da expressão encontrada:
Iguale isso a
:
Daí vem
. Integrando,
(constante).
Passo 11
Logo a função potencial é
A solução geral implícita da EDO é
ou seja
onde
é constante arbitrária (combinação de
e a constante da solução).
Resposta
Método: Para uma EDO
, verifique se
. Se sim, existe
com
e
. Integre
em
obtendo
. Determine
comparando
com
. A solução geral é
.
Exemplo resolvido: solução implícita
.