Exercício 1. Para cada classe de EDO de primeira ordem abaixo, descreva o método de como obter soluções e apresente um exemplo em cada caso.
Exata.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) descrever o método para resolver uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem do tipo “exata”; (ii) apresentar um exemplo resolvido desse tipo. Informação dada: a classe considerada é “Exata”.

Passo 2

O que significa uma EDO ser exata? Escrevemos a EDO no formato diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
onde M e N são funções dadas de x e y. A equação é dita exata quando existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
d\Phi = \Phi_x\,dx + \Phi_y\,dy = M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy.
Isto quer dizer que precisamos ter
\Phi_x(x,y)=M(x,y)\quad\text{e}\quad \Phi_y(x,y)=N(x,y).
A condição prática e rápida para testar exatidão (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é
\frac{\partial M}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial N}{\partial x}(x,y).
Se isso vale, a equação é exata e existe \Phi com d\Phi=M\,dx+N\,dy.

Passo 3

Intuição do porquê da condição: se \Phi é duas vezes diferenciável, então pela igualdade das derivadas parciais cruzadas temos
\frac{\partial}{\partial y}(\Phi_x)=\Phi_{xy}=\Phi_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(\Phi_y),
ou seja,
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Portanto, checar essa igualdade é o teste de exatidão.

Passo 4

Método passo a passo para resolver quando a equação é exata:
  1. Escreva a EDO como M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
  2. Verifique a exatidão calculando \partial M/\partial y e \partial N/\partial x. Se forem iguais, prossiga; senão a equação não é exata (veja observação sobre fatores integrantes mais adiante).
  3. Procure uma função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N.
    • Integre M(x,y) em relação a x: \Phi(x,y)=\displaystyle\int M(x,y)\,dx + h(y). Aqui h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (porque ao integrar em x tratamos y como constante).
    • Diferencie essa expressão em relação a y: \Phi_y = \partial/\partial y\big(\int M\,dx\big) + h'(y).
    • Iguale \Phi_y à função N(x,y) e resolva para h'(y). Integre h'(y) para obter h(y).
  4. A solução geral (implícita) é \Phi(x,y)=C, onde C é constante arbitrária.
  5. Se necessário, tente isolar y em função de x para obter solução explícita, mas normalmente o resultado implícito \Phi(x,y)=C é aceitável em provas.

Passo 5

Explicando com calma cada item usado:
  • Quando escrevo \Phi_x=M significa que estou afirmando que a derivada parcial da função \Phi em relação a x, mantendo y fixo, é exatamente a função M(x,y) da EDO. Similar para \Phi_y=N.
  • Na integração \displaystyle\int M(x,y)\,dx tratamos y como constante: por isso aparece uma função h(y) que representa toda a parte “perdida” que depende só de y.
  • Igualando \Phi_y obtida pela diferenciação com a função N da EDO, encontramos h'(y). Integrando h'(y) obtemos h(y) até uma constante real que vai compor a constante final C.

Passo 6

Observação importante (quando a equação não é exata): se \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x pode existir um fator integrante \mu(x) que depende só de x ou \mu(y) que depende só de y tal que multiplicando a equação por \mu ela se torne exata. Fórmulas úteis para testar:
  • Se \displaystyle\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} depende apenas de x, então existe \mu(x)=\exp\!\Big(\int \text{(essa função)}\,dx\Big)çã.
  • Se \displaystyle\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} depende apenas de y, então existe \mu(y)=\exp\!\Big(\int \text{(essa função)}\,dy\Big)çã.
    Não vou me aprofundar nisso aqui, mas é algo que costuma cair em prova quando a equação não é exata à primeira vista.

Passo 7

Agora um exemplo concreto e resolvido passo a passo (escolhi um exemplo que é exato de modo simples):
Considere a EDO
(2xy+\cos y)\,dx + (x^2 - x\sin y)\,dy = 0.
Aqui M(x,y)=2xy+\cos y e N(x,y)=x^2 - x\sin y.

Passo 8

Teste de exatidão:
Calcule \partial M/\partial y:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy+\cos y)=2x - \sin y.
Calcule \partial N/\partial x:
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 - x\sin y)=2x - \sin y.
Como \displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}, a equação é exata.

Passo 9

Procure \Phi(x,y) com \Phi_x=M. Integramos M em relação a x:
\Phi(x,y)=\int (2xy+\cos y)\,dx = \int 2xy\,dx + \int \cos y\,dx.
Ao integrar \int 2xy\,dx tratamos y como constante, obtendo x^2 y. Ao integrar \int \cos y\,dx obtemos x\cos y (porque \cos y é constante em x). Portanto
\Phi(x,y)=x^2 y + x\cos y + h(y),
onde h(y) é a função de y que ainda falta determinar.

Passo 10

Agora imponha \Phi_y=N. Calcule \Phi_y a partir da expressão encontrada:
\Phi_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x^2 y + x\cos y + h(y)) = x^2 - x\sin y + h'(y).
Iguale isso a N(x,y)=x^2 - x\sin y:
x^2 - x\sin y + h'(y) = x^2 - x\sin y.
Daí vem h'(y)=0. Integrando, h(y)=C_0 (constante).

Passo 11

Logo a função potencial é
\Phi(x,y)=x^2 y + x\cos y + C_0.
A solução geral implícita da EDO é
\Phi(x,y)=C,
ou seja
x^2 y + x\cos y = C,
onde C é constante arbitrária (combinação de C_0 e a constante da solução).

Resposta

Método: Para uma EDO M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, verifique se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x. Se sim, existe \Phi com \Phi_x=M e \Phi_y=N. Integre M em x obtendo \Phi(x,y)=\int M\,dx + h(y). Determine h(y) comparando \Phi_y com N. A solução geral é \Phi(x,y)=C.
Exemplo resolvido: solução implícita \;x^2 y + x\cos y = C.

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