Exercício 1. Para cada classe de EDO de primeira ordem abaixo, descreva o método de como obter soluções e apresente um exemplo em cada caso.
Separável;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a classe “Separável”: (1) descrever o método para obter soluções de EDOs de primeira ordem dessa classe; (2) apresentar um exemplo resolvido. Informação dada: a classe é “Separável”. Não há outras condições ou dados numéricos adicionais.

Passo 2

O que é uma EDO separável (forma a ser reconhecida): uma EDO de primeira ordem é separável quando pode ser escrita na forma
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y),
onde g depende só de x e h depende só de y. A condição prática: você consegue manipular a equação para que todos os termos com y fiquem multiplicando dy e todos os termos com x fiquem multiplicando dx.

Passo 3

Primeiro passo do método (separar variáveis): suponha que estamos numa região onde h(y)\neq 0. Podemos reescrever a EDO como
\frac{1}{h(y)}\,\frac{dy}{dx}=g(x).
Agora multiplicamos ambos os lados por dx (tratamento formal comum e intuitivo) e obtemos
\frac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx.
Isto fez a separação: lado esquerdo só depende de y, lado direito só de x.

Passo 4

Segundo passo do método (integrar): integramos ambos os lados em relação às suas variáveis:
\int \frac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx + C,
onde C é a constante de integração (colocada apenas num dos lados, por conveniência). Essas integrais são antiderivadas: o lado esquerdo é uma função de y, o direito é uma função de x.

Passo 5

Terceiro passo do método (isolar y se possível): se a primitiva do lado esquerdo for uma função invertível em y, chamemos essa primitiva de \Phi(y)=\int \frac{1}{h(y)}\,dy e a primitiva do lado direito de G(x)=\int g(x)\,dx. Então obtemos
\Phi(y)=G(x)+C.
Se \Phi for invertível, isolamos
y=\Phi^{-1}\bigl(G(x)+C\bigr),
obtemos solução explícita. Caso não seja possível inverter, a solução pode ficar em forma implícita \Phi(y)=G(x)+C, que também é perfeitamente aceitável.

Passo 6

Observação importante sobre soluções singulares: não esqueça as soluções constantes que surgem quando h(y_*)=0. Se existir y_* tal que h(y_*)=0, então y(x)\equiv y_* é solução (verifique substituindo na EDO). Essas soluções às vezes não aparecem na manipulação que divide por h(y), por isso devem ser checadas separadamente.

Passo 7

Como usar uma condição inicial: se tiver condição y(x_0)=y_0, substitua x=x_0 e y=y_0 em \Phi(y)=G(x)+C para encontrar C. Atenção com \ln|y| ou outras primitivas que introduzem valores absolutos: trate o sinal de y (domínio) ao resolver para C.

Passo 8

Exemplo completo (um exemplo clássico, passo a passo). Considere a EDO
\frac{dy}{dx}=y\sin x.
  1. Verifico que é separável porque o lado direito é produto de função só de x ( \sin x) e só de y ( y). 2) Se y for identicamente zero, y\equiv 0 é solução (pois 0=\;0\cdot\sin x). 3) Supondo y\neq 0 e separando:
\frac{1}{y}\,dy=\sin x\,dx.
  1. Integro ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy=\int \sin x\,dx.
  1. Calculo as primitivadas: \int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y| e \int \sin x\,dx=-\cos x. Logo
\ln|y|=-\cos x + C.
  1. Exponencio para isolar y:
|y|=e^{C}e^{-\cos x}.
Escrevo C_1=e^{C} (constante positiva) e absorvo sinal em uma constante C que pode ser qualquer real (positivo, negativo ou zero). Assim a solução geral explícita é
y(x)=C e^{-\cos x},\qquad C\in\mathbb{R}.
Note que C=0 dá a solução y\equiv 0 já mencionada.

Passo 9

Resumo prático que você pode decorar e aplicar na prova:
  • Identifique se dá para escrever \frac{dy}{dx}=g(x)h(y).
  • Coloque em forma \frac{1}{h(y)}dy=g(x)dx.
  • Integre ambos os lados e obtenha \Phi(y)=G(x)+C.
  • Verifique soluções constantes h(y)=0 e use condição inicial para achar C.
    Você consegue — é método mecânico: separar, integrar, isolar.

Resposta

Método: Reescrever \frac{dy}{dx}=g(x)h(y) como \frac{1}{h(y)}dy=g(x)dx, integrar ambos os lados \int \frac{1}{h(y)}dy=\int g(x)dx+C e, se possível, inverter a primitiva para obter y explicitamente; checar também soluções constantes h(y)=0.\nExemplo: para \displaystyle \frac{dy}{dx}=y\sin x a solução geral é \displaystyle y(x)=C e^{-\cos x},\;C\in\mathbb{R} (inclui y\equiv 0 quando C=0).

Exercícios relacionados