Exercício 1. Para cada classe de EDO de primeira ordem abaixo, descreva o método de como obter soluções e apresente um exemplo em cada caso.
Separável;
Separável;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a classe “Separável”: (1) descrever o método para obter soluções de EDOs de primeira ordem dessa classe; (2) apresentar um exemplo resolvido. Informação dada: a classe é “Separável”. Não há outras condições ou dados numéricos adicionais.
Passo 2
O que é uma EDO separável (forma a ser reconhecida): uma EDO de primeira ordem é separável quando pode ser escrita na forma
onde
depende só de
e
depende só de
. A condição prática: você consegue manipular a equação para que todos os termos com
fiquem multiplicando
e todos os termos com
fiquem multiplicando
.
Passo 3
Primeiro passo do método (separar variáveis): suponha que estamos numa região onde
. Podemos reescrever a EDO como
Agora multiplicamos ambos os lados por
(tratamento formal comum e intuitivo) e obtemos
Isto fez a separação: lado esquerdo só depende de
, lado direito só de
.
Passo 4
Segundo passo do método (integrar): integramos ambos os lados em relação às suas variáveis:
onde
é a constante de integração (colocada apenas num dos lados, por conveniência). Essas integrais são antiderivadas: o lado esquerdo é uma função de
, o direito é uma função de
.
Passo 5
Terceiro passo do método (isolar
se possível): se a primitiva do lado esquerdo for uma função invertível em
, chamemos essa primitiva de
e a primitiva do lado direito de
. Então obtemos
Se
for invertível, isolamos
obtemos solução explícita. Caso não seja possível inverter, a solução pode ficar em forma implícita
, que também é perfeitamente aceitável.
Passo 6
Observação importante sobre soluções singulares: não esqueça as soluções constantes que surgem quando
. Se existir
tal que
, então
é solução (verifique substituindo na EDO). Essas soluções às vezes não aparecem na manipulação que divide por
, por isso devem ser checadas separadamente.
Passo 7
Como usar uma condição inicial: se tiver condição
, substitua
e
em
para encontrar
. Atenção com
ou outras primitivas que introduzem valores absolutos: trate o sinal de
(domínio) ao resolver para
.
Passo 8
Exemplo completo (um exemplo clássico, passo a passo). Considere a EDO
- Verifico que é separável porque o lado direito é produto de função só de
( ) e só de ( ). 2) Se for identicamente zero, é solução (pois ). 3) Supondo e separando:
- Integro ambos os lados:
- Calculo as primitivadas:
e . Logo
- Exponencio para isolar
:
Escrevo
(constante positiva) e absorvo sinal em uma constante
que pode ser qualquer real (positivo, negativo ou zero). Assim a solução geral explícita é
Note que
dá a solução
já mencionada.
Passo 9
Resumo prático que você pode decorar e aplicar na prova:
- Identifique se dá para escrever
. - Coloque em forma
. - Integre ambos os lados e obtenha
. - Verifique soluções constantes
e use condição inicial para achar .
Você consegue — é método mecânico: separar, integrar, isolar.
Resposta
Método: Reescrever
como
, integrar ambos os lados
e, se possível, inverter a primitiva para obter
explicitamente; checar também soluções constantes
.\nExemplo: para
a solução geral é
(inclui
quando
).