Exercício 1. Para cada classe de EDO de primeira ordem abaixo, descreva o método de como obter soluções e apresente um exemplo em cada caso.
Linear;

Passo 1

O enunciado pede: para a classe “Linear” de EDOs de primeira ordem, descrever o método para obter soluções e apresentar um exemplo resolvido.
Informações dadas (explicitadas): a classe é a das EDOs lineares de primeira ordem; espera-se que eu explique o método passo a passo e apresente um exemplo com resolução completa.

Passo 2

O que é uma EDO linear de primeira ordem (forma padrão). Uma EDO linear de primeira ordem tem sempre a forma
y'(x)+p(x)\,y(x)=q(x),
onde:
  • \;y'(x) é a derivada de y em relação a x;
  • \;p(x) e \;q(x) são funções conhecidas de x (podem ser constantes também);
  • a incógnita é a função y(x).
    Na prova, quase sempre você coloca a equação nessa forma antes de qualquer coisa — se ela não vier exatamente assim, faça manipulações algébricas para deixá-la nessa forma.

Passo 3

Idéia do método (fórmula da fator integrante). A técnica padrão é o método do fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) escolhida de modo que o lado esquerdo vire a derivada de um produto simples. Escrevemos
\mu(x)\big(y'(x)+p(x)\,y(x)\big)=\mu(x)q(x).
Queremos que o lado esquerdo seja \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y(x)\big). Calculando essa derivada temos
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y(x)\big)=\mu(x)\,y'(x)+\mu'(x)\,y(x).
Portanto precisamos que \mu'(x)=\mu(x)\,p(x). Isso é uma equação diferencial simples para \mu.

Passo 4

Como encontrar \mu(x). A equação \mu'(x)=p(x)\mu(x) é separável; resolvendo-a obtemos
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=p(x)\quad\Rightarrow\quad \ln|\mu(x)|=\int p(x)\,dx + C_0.
Tomando a exponencial e absorvendo a constante multiplicativa na constante geral mais adiante, escolhemos convenientemente
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Essa \mu é o chamado fator integrante. Note que basta qualquer primitiva de p dentro do exponencial; constantes multiplicativas não fazem diferença pois serão absorvidas pela constante da solução final.

Passo 5

Obter a solução geral (passo a passo com a \mu). Depois de calcular \mu(x):
  1. multiplica-se toda a equação original por \mu(x),
  2. reconhece-se o lado esquerdo como \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)y(x)\big), então obtemos
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y(x)\big)=\mu(x)q(x).
  1. integra-se ambos os lados em relação a x:
\mu(x)y(x)=\int \mu(x)q(x)\,dx + C,
onde C é a constante de integração.
4) finalmente isolamos y(x):
y(x)=\frac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x)q(x)\,dx + C\right).
Essa é a fórmula pronta que você deve citar na prova. Aqui \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx} e C é constante real.

Passo 6

Interpretação e decomposição em homogênea + particular (dica prática). A solução geral pode ser vista como soma da solução da homogênea e de uma solução particular:
  • Solução homogênea ( q\equiv0): y_h(x)=C/\mu(x). Isso vem de colocar q=0 na fórmula.
  • Uma solução particular y_p(x) é dada por
y_p(x)=\frac{1}{\mu(x)}\int \mu(x)q(x)\,dx
(escolhendo uma primitiva qualquer). Então y(x)=y_p(x)+y_h(x). Na prova, às vezes é mais rápido achar y_h e depois um y_p por tentativas ou variação de constantes — mas o fator integrante é direto e sistemático.

Passo 7

Exemplo completo e bem mastigado. Vamos resolver passo a passo a EDO
y'(x)-\frac{2}{x}\,y(x)=x^{2},\qquad x>0.
  1. Identificamos p(x)=-\dfrac{2}{x} e q(x)=x^{2}.
  2. Calculamos o fator integrante:
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}=e^{\int -\frac{2}{x}\,dx}=e^{-2\ln x}=e^{\ln x^{-2}}=x^{-2}.
(Como x>0 podemos manipular logaritmo sem módulo; se x<0 a mesma fórmula geral vale up to sinal, mas isso é detalhe de domínio.)
3) Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x^{-2}:
x^{-2}y'(x)-x^{-2}\cdot\frac{2}{x}y(x)=x^{-2}\cdot x^{2}.
Simplificando o lado direito obtemos 1. No lado esquerdo, reconhecemos a derivada:
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}y(x)\big)=1.
(Verificação rápida: \dfrac{d}{dx}(x^{-2}y)=x^{-2}y'+(x^{-2})'y=x^{-2}y'-2x^{-3}y, e -2x^{-3}y=-x^{-2}\cdot\frac{2}{x}y, coincide com o que tínhamos.)
4) Integramos ambos os lados:
x^{-2}y(x)=\int 1\,dx = x + C,
onde C é constante.
5) Isolamos y(x):
y(x)=x^{2}\big(x+C\big)=x^{3}+C\,x^{2}.
Pronto: essa é a solução geral definida para x>0. Podemos checar rapidamente: a homogênea é y_h=Cx^{2} (coincide), e uma particular é y_p=x^{3}.

Passo 8

Dicas práticas para a prova (pequenos macetes e cuidados).
  • Sempre passe a equação à forma y'+p(x)y=q(x) antes de qualquer coisa.
  • Calcule \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx} com calma; use propriedades de log e exponencial para simplificar (como no exemplo, e^{-2\ln x}=x^{-2}).
  • Depois de multiplicar por \mu, verifique que o lado esquerdo é realmente \dfrac{d}{dx}(\mu y) — isso evita erro de sinais.
  • Se q(x) for simples, muitas vezes a integral \int \mu q é direta; caso contrário, tente integrar por partes ou procurar uma primitiva conhecida.
  • Se p e q são polinomiais ou exponenciais simples, às vezes é mais rápido procurar uma solução particular por tentativa (ansatz), mas o método do fator integrante funciona sempre e é seguro.

Resposta

y(x)=\frac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x)q(x)\,dx + C\right),\qquad \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
\text{Para }y'-\frac{2}{x}y=x^{2}\\ (x>0):\quad y(x)=x^{3}+C\,x^{2}.

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