Exercício 1. Para cada classe de EDO de primeira ordem abaixo, descreva o método de como obter soluções e apresente um exemplo em cada caso.
Linear;
Linear;
Passo 1
O enunciado pede: para a classe “Linear” de EDOs de primeira ordem, descrever o método para obter soluções e apresentar um exemplo resolvido.
Informações dadas (explicitadas): a classe é a das EDOs lineares de primeira ordem; espera-se que eu explique o método passo a passo e apresente um exemplo com resolução completa.
Informações dadas (explicitadas): a classe é a das EDOs lineares de primeira ordem; espera-se que eu explique o método passo a passo e apresente um exemplo com resolução completa.
Passo 2
O que é uma EDO linear de primeira ordem (forma padrão). Uma EDO linear de primeira ordem tem sempre a forma
onde:
-
é a derivada de em relação a ; -
e são funções conhecidas de (podem ser constantes também); - a incógnita é a função
.
Na prova, quase sempre você coloca a equação nessa forma antes de qualquer coisa — se ela não vier exatamente assim, faça manipulações algébricas para deixá-la nessa forma.
Passo 3
Idéia do método (fórmula da fator integrante). A técnica padrão é o método do fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função
escolhida de modo que o lado esquerdo vire a derivada de um produto simples. Escrevemos
Queremos que o lado esquerdo seja
. Calculando essa derivada temos
Portanto precisamos que
. Isso é uma equação diferencial simples para
.
Passo 4
Como encontrar
. A equação
é separável; resolvendo-a obtemos
Tomando a exponencial e absorvendo a constante multiplicativa na constante geral mais adiante, escolhemos convenientemente
Essa
é o chamado fator integrante. Note que basta qualquer primitiva de
dentro do exponencial; constantes multiplicativas não fazem diferença pois serão absorvidas pela constante da solução final.
Passo 5
Obter a solução geral (passo a passo com a
). Depois de calcular
:
- multiplica-se toda a equação original por
, - reconhece-se o lado esquerdo como
, então obtemos
- integra-se ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
4) finalmente isolamos :
4) finalmente isolamos
Essa é a fórmula pronta que você deve citar na prova. Aqui
e
é constante real.
Passo 6
Interpretação e decomposição em homogênea + particular (dica prática). A solução geral pode ser vista como soma da solução da homogênea e de uma solução particular:
- Solução homogênea (
): . Isso vem de colocar na fórmula. - Uma solução particular
é dada por
(escolhendo uma primitiva qualquer). Então
. Na prova, às vezes é mais rápido achar
e depois um
por tentativas ou variação de constantes — mas o fator integrante é direto e sistemático.
Passo 7
Exemplo completo e bem mastigado. Vamos resolver passo a passo a EDO
- Identificamos
e . - Calculamos o fator integrante:
(Como
podemos manipular logaritmo sem módulo; se
a mesma fórmula geral vale up to sinal, mas isso é detalhe de domínio.)
3) Multiplicamos a equação original por :
3) Multiplicamos a equação original por
Simplificando o lado direito obtemos
. No lado esquerdo, reconhecemos a derivada:
(Verificação rápida:
, e
, coincide com o que tínhamos.)
4) Integramos ambos os lados:
4) Integramos ambos os lados:
onde
é constante.
5) Isolamos :
5) Isolamos
Pronto: essa é a solução geral definida para
. Podemos checar rapidamente: a homogênea é
(coincide), e uma particular é
.
Passo 8
Dicas práticas para a prova (pequenos macetes e cuidados).
- Sempre passe a equação à forma
antes de qualquer coisa. - Calcule
com calma; use propriedades de log e exponencial para simplificar (como no exemplo, ). - Depois de multiplicar por
, verifique que o lado esquerdo é realmente — isso evita erro de sinais. - Se
for simples, muitas vezes a integral é direta; caso contrário, tente integrar por partes ou procurar uma primitiva conhecida. - Se
e são polinomiais ou exponenciais simples, às vezes é mais rápido procurar uma solução particular por tentativa (ansatz), mas o método do fator integrante funciona sempre e é seguro.