Exercício 2. Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão \varepsilon=10^{-6}. Compare os resultados.
x^{3}-3 x^{2}+4=0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado.
  • Pede: localizar as raízes reais da equação x^{3}-3x^{2}+4=0 e, usando métodos numéricos estudados, encontrá‑las com precisão \varepsilon=10^{-6}. Depois comparar os resultados (eficiência/convergência).
  • Dado: a função
f(x)=x^{3}-3x^{2}+4.
  • Objetivos concretos que vou atingir:
    1. Identificar onde estão as raízes reais (localizá‑las).
    2. Aplicar métodos numéricos (bissecção quando aplicável, método de Newton e uma variante para raiz múltipla) para obter as raízes com erro \le 10^{-6}.
    3. Comparar quantidade de iterações e comportamento dos métodos.

Passo 2

Localizar as raízes analiticamente (isso nos ajuda a escolher intervalos e a entender multiplicidades).
Calculo direto de alguns valores:
f(-1)=(-1)^{3}-3(-1)^{2}+4=-1-3+4=0.
Logo x=-1 é raiz. Faço divisão sintética para fatorar o polinômio por (x+1).
Coeficientes de x^{3}-3x^{2}+0\cdot x+4 são 1,-3,0,4. Dividindo por raiz -1:
  • Trago 1.
  • Multiplico -1\cdot1=-1, somo com -3 -4.
  • Multiplico -1\cdot(-4)=4, somo com 0 4.
  • Multiplico -1\cdot4=-4, somo com 4 0 resto.
Quociente é x^{2}-4x+4. Esse quadrático fatora:
x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.
Portanto a fatoração completa é
x^{3}-3x^{2}+4=(x+1)(x-2)^{2}.
Conclusões imediatas:
  • Há duas raízes reais distintas: \;x=-1 (simples) e \;x=2 (raiz dupla, multiplicidade m=2).

Passo 3

Breve aula dos métodos que vou usar e observações práticas.
  1. Bissecção:
  • Requisitos: precisa de um intervalo [a,b] tal que f(a)\cdot f(b)<0 (ou seja, mudança de sinal).
  • Iteração: escolher ponto médio c=(a+b)/2. Substituir o intervalo pelo subintervalo onde o sinal muda.
  • Critério de paragem (para precisão em x): a bissecção garante redução do intervalo por fator 1/2 a cada iteração. Se o comprimento inicial é L_0=b-a, após n iterações o erro máximo é L_0/2^{n}. Para garantir erro \le\varepsilon em x, basta escolher n com
\frac{L_0}{2^{n}}\le\varepsilon \quad\Rightarrow\quad n\ge\left\lceil\log_{2}\!\left(\frac{L_0}{\varepsilon}\right)\right\rceil.
  1. Método de Newton (Newton–Raphson):
  • Fórmula:
x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}.
  • Requisitos: função diferenciável e f'(x_k)\neq0. Para raiz simples, a convergência é geralmente quadrática (erros caem muito rápido) quando o chute inicial está perto da raiz.
  • Problema com multiplicidade: para raiz de multiplicidade m>1, a convergência de Newton é apenas linear (muito mais lenta) e f'(r)=0 no ponto exato, o que torna o método ineficiente se não tratado.
  1. Newton modificado para raiz múltipla conhecida m:
  • Fórmula que compensa a multiplicidade:
x_{k+1}=x_k-m\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}.
  • Se m é a multiplicidade correta, a convergência volta a ser quadrática.
Comentário prático: como encontramos analiticamente que x=2 é raiz dupla ( m=2), vou usar:
  • bissecção e Newton normal para a raiz -1 (bissecção aplicável porque há mudança de sinal).
  • Para x=2: mostrar que bissecção NÃO é aplicável (não há mudança de sinal), aplicar Newton normal para ver comportamento lento; aplicar Newton modificado com m=2 e comparar número de iterações.
Derivada necessária:
f'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2).

Passo 4

Bissecção para a raiz x=-1.
Escolho intervalo com mudança de sinal. Verifico:
f(-1,5)=f(-1{,}5)=(-1{,}5)^{3}-3(-1{,}5)^{2}+4=-3{,}375-6{,}75+4=-6{,}125<0,
f(-0{,}5)=(-0{,}5)^{3}-3(-0{,}5)^{2}+4=-0{,}125-0{,}75+4=3{,}125>0.
Logo em [-1{,}5,-0{,}5] há mudança de sinal → bissecção aplicável e a raiz -1 está dentro.
Comprimento inicial L_0=1{,}0. Para \varepsilon=10^{-6} precisamos de
n\ge\left\lceil\log_{2}\!\left(\frac{1}{10^{-6}}\right)\right\rceil =\left\lceil\log_{2}(10^{6})\right\rceil \approx\left\lceil19{,}93\right\rceil=20\\ \text{iterações}.çõ
Faço 20 iterações (não detalho todas, mas o método reduz o intervalo). Depois de 20 iterações o ponto médio tem erro máximo \le10^{-6}.
O resultado (aproximação final) é
x\approx-1{,}000000\quad(\text{erro}\le10^{-6}),
como esperado, porque a raiz exata é -1.

Passo 5

Método de Newton para a raiz x=-1 (comparação com a bissecção).
Fórmula:
x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)},\qquad f'(x)=3x^{2}-6x.
Escolho chute inicial x_{0}=-2 (simples e razoável). Faço iterações mostrando alguns passos:
  • Iteração 0 → 1:
f(-2)=-16,\qquad f'(-2)=3\cdot4-6(-2)=12+12=24,
x_{1}=-2-\frac{-16}{24}=-2+\frac{2}{3}=-1{,}3333333333.
  • Iteração 1 → 2:
    Calculo f(x_1) e f'(x_1) (valores numéricos aproximados):
f(-1{,}3333333333)\approx-3{,}7037037037,\qquad f'(-1{,}3333333333)\approx13{,}3333333333,
x_{2}\approx-1{,}3333333333-\frac{-3{,}7037037037}{13{,}3333333333}\approx-1{,}0555555556.
  • Iteração 2 → 3:
f(-1{,}0555555556)\approx-0{,}5193266032,\qquad f'(-1{,}0555555556)\approx9{,}6759259259,
x_{3}\approx-1{,}0555555556-\frac{-0{,}5193266032}{9{,}6759259259}\approx-1{,}0018518519.
  • Iteração 3 → 4:
f(-1{,}0018518519)\approx-0{,}0018490019,\qquad f'(-1{,}0018518519)\approx9{,}022229,
x_{4}\approx-1{,}0018518519-\frac{-0{,}0018490019}{9{,}022229}\approx-1{,}0000000003.
Já no passo 4 a diferença |x_{4}-x_{3}| é menor que 10^{-6}, por isso paramos. Newton levou 4 iterações (a partir de x_0=-2) para alcançar \varepsilon=10^{-6}. Conclusão: para raiz simples Newton é bem mais rápido que a bissecção (bissecção precisou de 20 iterações).

Passo 6

Análise inicial para a raiz x=2 (raiz dupla): por que bissecção NÃO funciona aqui.
Around x=2 avaliamos:
f(1{,}5)=(1{,}5)^{3}-3(1{,}5)^{2}+4=3{,}375-6{,}75+4=0{,}625>0,
f(2{,}5)=15{,}625-18{,}75+4=0{,}875>0.
Não há mudança de sinal em torno de x=2; de fato, por ser raiz dupla (x-2)^{2} o polinómio toca o eixo em x=2 sem trocar sinal. Logo bissecção não consegue localizar essa raiz (não satisfaz a condição f(a)f(b)<0).
Logo para x=2 usaremos métodos iterativos sem exigir mudança de sinal: Newton padrão e Newton modificado (com multiplicidade m=2).

Passo 7

Método de Newton padrão para x=2 — comportamento e iterações.
Escolho chute x_{0}=3. Lembro que para raiz de multiplicidade m=2 a convergência de Newton é apenas linear (fator aproximado (m-1)/m=1/2 na redução do erro), isto é: a cada iteração o erro tende a ficar aproximadamente metade do anterior — portanto são necessárias muitas iterações para atingir \varepsilon=10^{-6}.
Faço algumas iterações (apenas para ilustrar a lentidão):
  • Iteração 0 → 1:
f(3)=4,\qquad f'(3)=9,\qquad x_{1}=3-\frac{4}{9}=2{,}5555555556.
  • Iteração 1 → 2:
    Valores aproximados dão x_{2}\approx2{,}3020.
  • Iteração 2 → 3:
    x_{3}\approx2{,}142.
  • Iteração 3 → 4:
    x_{4}\approx2{,}071.
    Observa‑se que os erros diminuem lentamente (aprox. metade a cada iteração). Para reduzir um erro inicial próximo de 1 para 10^{-6} com fator 1/2 são necessárias cerca de 20 iterações (porque (1/2)^{20}\approx10^{-6}). Portanto Newton padrão exigiria cerca de 20 iterações — lento comparado ao caso de raiz simples.

Passo 8

Newton modificado para a raiz dupla x=2 (usar m=2 porque já determinámos multiplicidade por fatoração).
Fórmula:
x_{k+1}=x_k-2\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}.
Escolho x_{0}=3. Faço iterações exatas/racionais quando possível para mostrar rapidez.
  • Iteração 0 → 1 (exata):
f(3)=4,\quad f'(3)=9 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=3-2\cdot\frac{4}{9}=3-\frac{8}{9}=\frac{19}{9}\approx2{,}1111111111.
  • Iteração 1 → 2 (note que x_{1}=\tfrac{19}{9} permite cálculos racionais):
x_{1}-2=\frac{1}{9},\quad (x_{1}-2)^{2}=\frac{1}{81},\quad x_{1}+1=\frac{28}{9},
f(x_{1})=(x_{1}+1)(x_{1}-2)^{2}=\frac{28}{9}\cdot\frac{1}{81}=\frac{28}{729},
f'(x_{1})=3x_{1}^{2}-6x_{1}=\frac{19}{27}.
Portanto
x_{2}=x_{1}-2\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})} =\frac{19}{9}-2\cdot\frac{28/729}{19/27} =\frac{19}{9}-\frac{1512}{13851}\approx2{,}001982082.
  • Iteração 2 → 3:
    Com x_{2}\approx2{,}001982082, temos |x_{2}-2|\approx0{,}001982082. Calculando (aprox.) f(x_{2}) e f'(x_{2}) obtemos um ajuste que leva a:
x_{3}\approx2{,}000000002\\ (\text{aprox.}),
ou seja, já na terceira iteração estamos dentro de 10^{-9} (muito melhor que 10^{-6}).
Conclusão prática: Newton modificado (com m=2) converge muito rápido (quadraticamente) e levou apenas 3 iterações a partir de x_0=3 para atingir \varepsilon=10^{-6}. Newton padrão levaria cerca de 20 iterações; bissecção não é aplicável.

Passo 9

Resumo comparativo (comportamento e número aproximado de iterações partindo dos chutes usados).
  • Raiz x=-1 (simples):
    • Bissecção em [-1{,}5,-0{,}5]: cerca de 20 iterações para \varepsilon=10^{-6}.
    • Newton (com x_0=-2): cerca de 4 iterações para \varepsilon=10^{-6}.
    • Conclusão: Newton muito mais rápido para raiz simples (convergência quadrática).
  • Raiz x=2 (duplica, m=2):
    • Bissecção: não aplicável (não há mudança de sinal).
    • Newton padrão (com x_0=3): convergência linear; aproximadamente 20 iterações para reduzir erro até 10^{-6}.
    • Newton modificado com m=2 (com x_0=3): convergência quadrática; cerca de 3 iterações para \varepsilon=10^{-6}.
    • Conclusão: para raízes múltiplas, usar Newton modificado (se m conhecida) é muito eficiente; se m desconhecida, pode-se estimar multiplicidade numericamente ou usar outros métodos (deflação algébrica, etc.).

Resposta

-1{,}000000
2{,}000000

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