Exercício 2. Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão
. Compare os resultados.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado.
- Pede: localizar as raízes reais da equação
e, usando métodos numéricos estudados, encontrá‑las com precisão . Depois comparar os resultados (eficiência/convergência). - Dado: a função
- Objetivos concretos que vou atingir:
- Identificar onde estão as raízes reais (localizá‑las).
- Aplicar métodos numéricos (bissecção quando aplicável, método de Newton e uma variante para raiz múltipla) para obter as raízes com erro
. - Comparar quantidade de iterações e comportamento dos métodos.
Passo 2
Localizar as raízes analiticamente (isso nos ajuda a escolher intervalos e a entender multiplicidades).
Calculo direto de alguns valores:
Logo
é raiz. Faço divisão sintética para fatorar o polinômio por
.
Coeficientes de
são
. Dividindo por raiz
:
- Trago
. - Multiplico
, somo com → . - Multiplico
, somo com → . - Multiplico
, somo com → resto.
Quociente é
. Esse quadrático fatora:
Portanto a fatoração completa é
Conclusões imediatas:
- Há duas raízes reais distintas:
(simples) e (raiz dupla, multiplicidade ).
Passo 3
Breve aula dos métodos que vou usar e observações práticas.
- Bissecção:
- Requisitos: precisa de um intervalo
tal que (ou seja, mudança de sinal). - Iteração: escolher ponto médio
. Substituir o intervalo pelo subintervalo onde o sinal muda. - Critério de paragem (para precisão em x): a bissecção garante redução do intervalo por fator
a cada iteração. Se o comprimento inicial é , após iterações o erro máximo é . Para garantir erro em x, basta escolher com
- Método de Newton (Newton–Raphson):
- Fórmula:
- Requisitos: função diferenciável e
. Para raiz simples, a convergência é geralmente quadrática (erros caem muito rápido) quando o chute inicial está perto da raiz. - Problema com multiplicidade: para raiz de multiplicidade
, a convergência de Newton é apenas linear (muito mais lenta) e no ponto exato, o que torna o método ineficiente se não tratado.
- Newton modificado para raiz múltipla conhecida
:
- Fórmula que compensa a multiplicidade:
- Se
é a multiplicidade correta, a convergência volta a ser quadrática.
Comentário prático: como encontramos analiticamente que
é raiz dupla (
), vou usar:
- bissecção e Newton normal para a raiz
(bissecção aplicável porque há mudança de sinal). - Para
: mostrar que bissecção NÃO é aplicável (não há mudança de sinal), aplicar Newton normal para ver comportamento lento; aplicar Newton modificado com e comparar número de iterações.
Derivada necessária:
Passo 4
Bissecção para a raiz
.
Escolho intervalo com mudança de sinal. Verifico:
Logo em
há mudança de sinal → bissecção aplicável e a raiz
está dentro.
Comprimento inicial
. Para
precisamos de
Faço 20 iterações (não detalho todas, mas o método reduz o intervalo). Depois de 20 iterações o ponto médio tem erro máximo
.
O resultado (aproximação final) é
como esperado, porque a raiz exata é
.
Passo 5
Método de Newton para a raiz
(comparação com a bissecção).
Fórmula:
Escolho chute inicial
(simples e razoável). Faço iterações mostrando alguns passos:
- Iteração 0 → 1:
- Iteração 1 → 2:
Calculoe (valores numéricos aproximados):
- Iteração 2 → 3:
- Iteração 3 → 4:
Já no passo 4 a diferença
é menor que
, por isso paramos. Newton levou 4 iterações (a partir de
) para alcançar
. Conclusão: para raiz simples Newton é bem mais rápido que a bissecção (bissecção precisou de 20 iterações).
Passo 6
Análise inicial para a raiz
(raiz dupla): por que bissecção NÃO funciona aqui.
Around
avaliamos:
Não há mudança de sinal em torno de
; de fato, por ser raiz dupla
o polinómio toca o eixo em
sem trocar sinal. Logo bissecção não consegue localizar essa raiz (não satisfaz a condição
).
Logo para
usaremos métodos iterativos sem exigir mudança de sinal: Newton padrão e Newton modificado (com multiplicidade
).
Passo 7
Método de Newton padrão para
— comportamento e iterações.
Escolho chute
. Lembro que para raiz de multiplicidade
a convergência de Newton é apenas linear (fator aproximado
na redução do erro), isto é: a cada iteração o erro tende a ficar aproximadamente metade do anterior — portanto são necessárias muitas iterações para atingir
.
Faço algumas iterações (apenas para ilustrar a lentidão):
- Iteração 0 → 1:
- Iteração 1 → 2:
Valores aproximados dão. - Iteração 2 → 3:
. - Iteração 3 → 4:
.
Observa‑se que os erros diminuem lentamente (aprox. metade a cada iteração). Para reduzir um erro inicial próximo depara com fator são necessárias cerca de iterações (porque ). Portanto Newton padrão exigiria cerca de 20 iterações — lento comparado ao caso de raiz simples.
Passo 8
Newton modificado para a raiz dupla
(usar
porque já determinámos multiplicidade por fatoração).
Fórmula:
Escolho
. Faço iterações exatas/racionais quando possível para mostrar rapidez.
- Iteração 0 → 1 (exata):
- Iteração 1 → 2 (note que
permite cálculos racionais):
Portanto
- Iteração 2 → 3:
Com, temos . Calculando (aprox.) e obtemos um ajuste que leva a:
ou seja, já na terceira iteração estamos dentro de
(muito melhor que
).
Conclusão prática: Newton modificado (com
) converge muito rápido (quadraticamente) e levou apenas 3 iterações a partir de
para atingir
. Newton padrão levaria cerca de 20 iterações; bissecção não é aplicável.
Passo 9
Resumo comparativo (comportamento e número aproximado de iterações partindo dos chutes usados).
-
Raiz
(simples): - Bissecção em
: cerca de iterações para . - Newton (com
): cerca de iterações para . - Conclusão: Newton muito mais rápido para raiz simples (convergência quadrática).
- Bissecção em
-
Raiz
(duplica, ): - Bissecção: não aplicável (não há mudança de sinal).
- Newton padrão (com
): convergência linear; aproximadamente iterações para reduzir erro até . - Newton modificado com
(com ): convergência quadrática; cerca de iterações para . - Conclusão: para raízes múltiplas, usar Newton modificado (se
conhecida) é muito eficiente; se desconhecida, pode-se estimar multiplicidade numericamente ou usar outros métodos (deflação algébrica, etc.).