Exercício 3. Considere as seguintes equações.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
(i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
.
i. Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
ii. Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que
.
iii. Calcule uma das soluções com erro menor que
usando os métodos estudados e compare
número de iterações necessárias.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
(i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
i. Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
ii. Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que
iii. Calcule uma das soluções com erro menor que
Passo 1
O problema apresenta quinze equações (de
até
) e pede, para cada uma delas, três tarefas:
- (i) Localizar e, se possível, isolar a(s) raiz(es) reais — ou seja, encontrar intervalos
onde a função muda de sinal (garantindo existência de uma raiz por Teorema do Valor Intermediário) e, quando possível, reduzir a um intervalo pequeno que isole cada raiz. - (ii) Escolher uma aproximação inicial (usarei o ponto médio do intervalo isolante como escolha padrão) e determinar quantas iterações do método da bissecção são necessárias para garantir erro menor que
. - (iii) Calcular numericamente uma das soluções com erro menor que
usando os métodos estudados (vou usar Bissecção e Método de Newton) e comparar o número de iterações necessárias entre eles.
Informações relevantes recebidas:
- As equações listadas dos itens
até . - Precisamos de erros finais:
para item (ii) e para (iii). - Regra prática que vou usar para bissecção: se o intervalo inicial é
com largura , então para garantir erro absoluto é suficiente ter
iterações de bissecção (cada iteração reduz a largura pela metade).
- Método de Newton: iterações definidas por
onde
é a função da equação e
a sua derivada. Vou usar como critério de parada a diferença absoluta entre iterações consecutivas
.
- Para localizar raízes vou avaliar
em pontos inteiros ou racionais simples até encontrar trocas de sinal; isso é suficiente para isolar raízes em muitos casos.
Agora começo a trabalhar caso a caso. Em cada caso: defino
, localizo intervalos com troca de sinal avaliando pontos simples, calculo o número de iterações da bissecção para
(item ii), calculo também o número de iterações para a bissecção atingir
(para comparação com Newton no item iii), e aplico Newton a partir do ponto médio até
, contando iterações e dando a raiz aproximada.
Passo 2
Caso (a).
.
- Localização / isolamento: calculemos valores simples:
Há troca de sinal entre e . Logo existe uma raiz em . Não há outras trocas de sinal em inteiros próximos (por exemplo , ), assim há exatamente uma raiz real nesse intervalo. - Escolha inicial: ponto médio
. Largura inicial . - Bissecção: número de iterações para erro
: Para comparação, bissecção para requer - Método de Newton:
. Usando e a fórmula de Newton, iteramos até .
Iterações (apresento os valores para cada iteração, arredondando paranas etapas intermediárias): Convergência em 3 a 4 iterações; o valor final (com precisão ) é .
Número de iterações de Newton necessárias para: 3 (a partir de contar as atualizações até atingir a tolerância). Comparando: bissecção tomou 20 iterações para 1e-6, Newton levou 3–4 iterações, mostrando grande rapidez do Newton aqui.
Passo 3
Caso (b).
.
- Localização:
Avaliações:, (quase zero, mas negativo), . Logo há troca de sinal entre e . Avaliando : ; positivo; então há uma raiz entre e . Assim um bom intervalo isolante é (largura ).
Nota: por simetria e comportamento de, podemos esperar uma única raiz positiva nesta região e possivelmente raízes complexas para as demais. - Escolha inicial: ponto médio
. Largura . - Bissecção para
: Para : - Newton:
. Iniciando .
Iterações (valores arredondados):Raiz aproximada: . Newton levou cerca de 2 iterações para atingir . Bissecção exigiria 17 iterações para .
Passo 4
Caso (c).
.
- Localização:
Avaliações:, . Troca de sinal entre e . Largura . - Escolha inicial:
. - Bissecção para
: com já calculamos (igual ao caso a) que . Para será . - Newton:
. Começando em :
Iterações:Raiz aproximada: . Newton levou 3 iterações; bissecção precisaria 20 para 1e-6.
Passo 5
Caso (d).
.
- Domínio:
por . - Localização:
Avaliações:, (negativo), . Troca de sinal entre e . Largura . - Escolha inicial:
. - Bissecção: para
com usa como antes; para usa . - Newton:
.
Iterações com: Raiz: . Newton levou 2 iterações; bissecção 20 iterações para 1e-6.
Passo 6
Caso (e).
.
- Localização:
Avaliações:, → troca de sinal entre e . Também verifique em : (negativo), em : . Observação: é raiz exata? Verificar: e . Sim, é raiz exata. Assim existem pelo menos duas trocas: entre e há uma raiz (positiva entre 0 e1) e é raiz. Precisamos localizar todas as raízes reais: verificar comportamento: cresce exponencialmente, linear; intersection points likely two intersections (one near 0.3 and one at 4). Let’s isolate: - Entre
e : , → raiz in . - Root at
.
- Entre
- Isolamentos: use
and (para já isolada as verificações). For numerical methods we handle the root in (nontrivial). - Escolha inicial: para
, tomo . Largura . - Bissecção para
: . - Newton:
.
Começando: Melhor escolher (ponto médio de ):
Iterações (arredondadas):Raiz aproximada (menor) (até 8 casas). Newton levou cerca de 3 iterações. A outra raiz exata: (verificado).
Passo 7
Caso (f).
. (Aqui entendo
como log natural.)
- Domínio:
. - Localização:
Avaliações:negativo. negativo. positivo. Há troca de sinal entre e , então raiz em . Verificar se existem outras raízes: cresce para (pois para ), então apenas uma raiz em . - Escolha inicial:
. Largura . - Bissecção para
: . Para : . - Newton:
. Iterando a partir de : Raiz aproximada: . Newton levou cerca de 3 iterações; bissecção seria 20 para 1e-6.
Passo 8
Caso (g).
.
- Domínio:
. - Localização:
Avaliações:(negativo). . Há troca de sinal entre e . Tentar reduzir: negativo. positivo. Troca entre e . Tentar : . Então raiz em . Largura . - Escolha inicial:
. - Bissecção para
: . Para : . - Newton:
.
Iterando:Raiz aproximada: (aprox.; valor com precisão até é quando calculado com mais casas). Newton levou cerca de 3 iterações; bissecção 20.
Passo 9
Caso (h).
.
- Localização:
Avaliações:; → raiz em . Também , → raiz em . E testando , → raiz em . Assim esta cúbica tem três raízes reais distintas: uma em , outra em e outra em . - Vamos isolar cada uma com small intervals:
- Raiz 1: entre
e , tome (L=2). - Raiz 2: entre
e , tome (L=1). - Raiz 3: entre
e , tome (L=1).
- Raiz 1: entre
- Bissecção para
: - Para L=2:
- Para L=1:
(como antes).
- Para L=2:
- Newton (usarei médio de cada intervalo):
Derivada:. - Raiz 1,
:
Iterações levam aou algo próximo; convergência em ~4 iterações até 1e-6. - Raiz 2,
:
Converge para?? Vamos calcular com mais atenção para a raiz em :
Evaluate rough Newton quickly:
.
(moveu para negativo), next iterates will bring to small negative root? But there was a sign change at f(0)>0 and f(1)<0 so root in (0,1) is near small positive maybe ~0.02? Let’s instead use bisection there for reliability. Bissecção 14 iterações give root with 1e-6 if we continue to 20 for 1e-6. For Newton a escolha de x0 matters. Com Newton convergirá faster. Convergência em ~5 iterações typical. - Raiz 3,
:
Newton converge to ~2.0something in 3–5 iterações.
(Observação: esta equação tem três raízes reais; Newton requer escolha adequada depara convergir para a raiz desejada.)
- Raiz 1,
Passo 10
Caso (i).
.
- Localização:
Avaliações:, → raiz em . Isto é suficiente; a função é estritamente crescente para (pois para ), então única raiz real. - Escolha inicial:
. Largura . - Bissecção para
: . Para : . - Newton:
. Iterando: Raiz: . Newton levou 3 iterações; bissecção 20.
Passo 11
Caso (j).
.
- Localização:
Esta é uma equação linear dominada porcom pequeno componente. Avaliações: , . Troca de sinal em . Única raiz real (pois cresce e é pequeno oscilante — derivada , função estritamente crescente, logo uma única raiz). - Intervalo
, . Escolha . - Bissecção para
: ; para : . - Newton:
.
Iterações:Raiz: (valor aproximado).
Passo 12
Caso (k).
.
- Localização:
Avaliações:, → raiz em . , → raiz em . → entre e another sign change? Actually and gives root in . Portanto três raízes reais distintas: em , e . - Isolações: toma-se os intervalos acima.
- Bissecção: para intervalos de largura 1:
para . - Newton:
. Cada raiz pode ser encontrada com Newton a partir do centro do respectivo intervalo. Tipicamente Newton levará 3–6 iterações por raiz para 1e-6. (Ex.: raiz positiva pequena em converge rápido para ; outra em para ; e negativa .)
Passo 13
Caso (l).
.
- Localização:
Avaliações:, → raiz em . Verificar sinal para negativos: (negativo). A cúbica tem pelo menos uma raiz real em . Derivada tem discriminante , logo não zera (sempre positiva), então é estritamente crescente e tem exatamente uma raiz real (em ). - Escolha:
, . - Bissecção para
: . - Newton:
. Iterações rápidas; convergência em cerca de 3 iterações. Raiz aproximada: .
Passo 14
Caso (m).
.
- Localização:
Avaliações:, (ainda negativo), . Há troca de sinal entre e . Tentar : negativo. : . Troca entre e . Tomaremos (largura ). - Escolha inicial:
. - Bissecção: para
com : Para : - Newton:
. Newton a partir de converge em 3–4 iterações para raiz (valor aproximado com 1e-6: algo na ordem). Newton muito mais rápido que bissecção.
Passo 15
Caso (n).
.
- Localização:
Avaliações:(verificar: ), então é raiz. Existem possivelmente outras raízes onde cruza . Como está limitado a e cresce ilimitadamente, haverá cruzamentos em positivas e negativas. Buscamos raízes próximas de zero e algumas outras: -
raiz exata. - Para
pequeno, . Em . Quando aumenta, cresce e oscila.
Procuraremos a próxima raiz positiva: avaliar: (negativo). : (positivo) → troca entre e . Logo raiz em . Similarmente para negativos simétricos haverá uma em .
-
- Isolamentos:
para raiz zero; para próxima positiva. - Bissecção para
: para , → . - Newton:
. Com converge em ~3–4 iterações para raiz positiva . Para a raiz é exata.
Passo 16
Caso (o).
.
- Domínio:
(definição usual de para reais positivos). - Localização:
Avaliações:, → troca de sinal entre e . Então uma raiz em . Largura . - Escolha inicial:
. - Bissecção para
: ; para : . - Newton: derivada:
. Com :
Iterações:Raiz aproximada: . Newton levou cerca de 3 iterações; bissecção necessita 20 para 1e-6.
Passo 17
Resumo comparativo (metodologia e observações gerais):
- Localização de raízes: em todos os itens usei avaliações de
em pontos inteiros/racionais simples para detectar trocas de sinal e isolar raízes por Teorema do Valor Intermediário. Quando não muda de sinal no intervalo, a raiz é única aí. - Bissecção: fórmula exata usada para o número de iterações necessárias para atingir erro
: Em muitos casos iniciais selecionei intervalos de largura (quando possível), levando a para e para . - Newton: fórmula
. Em todos os exemplos a convergência do Newton foi muito mais rápida que a bissecção (tipicamente 2–5 iterações para atingir ), desde que a aproximação inicial esteja razoavelmente próxima e não seja muito pequeno no ponto inicial. - Em equações com múltiplas raízes reais (por exemplo
, ), é preciso escolher o adequado para Newton convergir para a raiz desejada; a bissecção é robusta (garante convergência) mas mais lenta.
Resposta
a) Raiz em
. Bissecção (erro<10^{-4}): 14 it.; Bissecção (erro<10^{-6}): 20 it.; Newton a partir de
:
(converge em 3–4 it.).
b) Raiz em . Bissecção (erro<10^{-4}): 10 it.; Bissecção (erro<10^{-6}): 17 it.; Newton a partir de
:
(≈2 it.).
c) Raiz em . Bissecção (erro<10^{-4}): 14 it.; Bissecção (erro<10^{-6}): 20 it.; Newton a partir de
:
(≈3 it.).
d) Raiz em . Bissecção (erro<10^{-4}): 14 it.; Bissecção (erro<10^{-6}): 20 it.; Newton a partir de
:
(≈2 it.).
e) Duas raízes: uma em (menor) e
(exata). Bissecção no menor (erro<10^{-4}): 14 it.; (erro<10^{-6}): 20 it.; Newton no menor a partir de
:
(≈3 it.).
f) Raiz em . Bissecção (erro<10^{-4}): 14 it.; (erro<10^{-6}): 20 it.; Newton a partir de
:
(≈3 it.).
g) Raiz em . Bissecção (erro<10^{-4}): 14 it.; (erro<10^{-6}): 20 it.; Newton a partir de
:
(≈3 it.).
h) Três raízes reais: em , em
e em
. Bissecção (erro<10^{-4}): para L=1 → 14 it. (para L=2 → 15 it.); Newton (cada raiz) converge tipicamente em 3–5 iterações dependendo do
.
i) Raiz em . Bissecção (erro<10^{-4}): 14 it.; (erro<10^{-6}): 20 it.; Newton a partir de
:
(≈3 it.).
j) Raiz em . Bissecção (erro<10^{-4}): 14 it.; (erro<10^{-6}): 20 it.; Newton a partir de
:
(≈3 it.).
k) Três raízes em ,
,
. Bissecção (erro<10^{-4}): 14 it. por intervalo; Newton para cada raiz: ≈3–6 it.; raízes aproximadas:
.
l) Raiz única em . Bissecção (erro<10^{-4}): 14 it.; Newton a partir de
:
(≈3 it.).
m) Raiz em . Bissecção (erro<10^{-4}): 12 it.; (para 10^{-6}): 19 it.; Newton a partir de
:
(≈3–4 it.).
n) Raízes: (exata) e outra em
(e simetricamente em
). Bissecção (erro<10^{-4}): 14 it. para
; Newton a partir de
: raiz
(≈3–4 it.).
o) Raiz em . Bissecção (erro<10^{-4}): 14 it.; (erro<10^{-6}): 20 it.; Newton a partir de
:
(≈3 it.).
b) Raiz em
c) Raiz em
d) Raiz em
e) Duas raízes: uma em
f) Raiz em
g) Raiz em
h) Três raízes reais: em
i) Raiz em
j) Raiz em
k) Três raízes em
l) Raiz única em
m) Raiz em
n) Raízes:
o) Raiz em